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[极限] (171215)设 $a_n$ 是 $x^n+x=1$ 在 $(0,1)$ 中的实根. 试证: (1) $a_n\nearrow$; (2) $\dps{\vlm{n}a_n=1}$;(3) $\dps{\vlm{n} \f{n}{\ln n}(1-a_n)=1}$; (4) $\dps{\vlm{n} \f{n}{\ln \ln n}\sex{1-a_n-\f{\ln n}{n}}}$.

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发表于 2018-7-1 17:33:27 | 显示全部楼层 |阅读模式
(171215) $a_n$ $x^n+x=1$ $(0,1)$ 中的实根, $n\in\bbZ_+$. 试证: (1) $a_n\nearrow$; (2) $\dps{\vlm{n}a_n=1}$;(3) $\dps{\vlm{n} \f{n}{\ln n}(1-a_n)=1}$; (4) $\dps{\vlm{n} \f{n}{\ln \ln n}\sex{1-a_n-\f{\ln n}{n}}}$.

证明: (1) $f_n(x)=x^n+x-1$, $f_n(0)=-1<1=f_n(1)$. 据连续函数介值定理即知 $f_n(x)$ $(0,1)$ 内有实根. $f_n'(x)=nx^{n-1}+1>0$ 知该实根唯一. $a_n$ $f_n(x)$ $(0,1)$ 内的唯一实根, 则由 $$\bex f_n(a_{n+1})=a_{n+1}^n+a_{n+1}-1=a_{n+1}^n-a_{n+1}^{n+1} =a_{n+1}^n(1-a_{n+1})>0=f(a_n)\qx{0=f_{n+1}(a_{n+1})=a_{n+1}^{n+1}+a_{n+1}-1}\eex$$ $f$ 的严格递增性质 $a_{n+1}>a_n$.
(2) $\sed{a_n}$ 严格递增有上界 $1$ $\dps{\vlm{n}a_n}$ 存在. 又对 $\forall\ \ve\in (0,1)$, $n\gg 1$ , $$\bex f_n(1-\ve)=(1-\ve)^n +(1-\ve)-1 =(1-\ve)^n-\ve<-\f{\ve}{2}<0=f(a_n).\eex$$ $f$ 的严格递增性知 $1-\ve<a_n$. $n\to\infty$ $\dps{1-\ve<\vlm{n}a_n\leq 1}$. 再令 $\ve\to 0^+$ $\dps{\vlm{n}a_n=1}$.
(3) $$\bee\label{171215:n}a_n^n+a_n=1\ra a_n^n=1-a_n\ra n\ln a_n=\ln(1-a_n)\ra n=\f{\ln(1-a_n)}{\ln a_n}.\eee$$ 于是 $$\beex \bea \ys&=\vlm{n}\f{\f{\ln(1-a_n)}{\ln a_n}}{\ln \f{\ln(1-a_n)}{\ln a_n}} (1-a_n) =\lim_{x\to 0^+}\f{\f{\ln x}{\ln(1-x)}}{\ln \f{\ln x}{\ln (1-x)}}x\\ & =\lim_{x\to 0^+}\f{y}{\ln\f{y}{x}}\qx{y=x\f{\ln x}{\ln (1-x)} \ra \lim_{x\to 0^+}y=\lim_{x\to 0^+}(-\ln x)\cdot \f{-x}{\ln (1-x)} =+\infty}\\ &=\lim_{x\to 0^+}\f{y}{\ln y-\ln x} =\lim_{x\to0^+}\f{1}{\f{\ln y}{y}-\f{\ln x}{y}} =\lim_{x\to 0^+}\f{1}{\f{\ln y}{y}-\f{\ln(1-x)}{x}} =\f{1}{0-(-1)}=1. \eea \eeex$$
(4) $\dps{b_n=\f{n}{\ln n} (1-a_n)}$, 则由 (3) $\dps{\vlm{n}b_n=1\ra b_n=1+o(1)}$. 又由 \eqref{171215:n} $\dps{b_n=\f{n}{\ln n}(1-a_n)\ra a_n=1-\f{\ln n}{n}b_n}$ $$\beex \ba{cl} \ln(1-a_n)&=\ln \sex{\f{\ln n}{n}b_n}=\ln \sez{\f{\ln n}{n}(1+o(1))}=\ln\f{\ln n}{n}+o(1)=\ln \ln n-\ln n+o(1)\\ ||&\\ n\ln a_n&=n\ln\sex{1-\f{\ln n}{n}b_n} =n\sez{-\f{\ln n}{n}b_n+O\sex{\f{\ln^2n}{n^2}b_n^2}} =-b_n\ln n+o(1)\qx{\ln (1-x)=-x+O(x^2),\ x\to 0} \ea \eeex$$ 于是 $\dps{b_n=1-\f{\ln \ln n}{\ln n}+o\sex{\f{1}{\ln n}}}$, $$\beex \bea \f{n}{\ln \ln n}\sex{1-a_n-\f{\ln n}{n}}&=\f{\ln n}{\ln \ln n} \sez{\f{n}{\ln n}(1-a_n)-1} =\f{\ln n}{\ln \ln n}(b_n-1)\\ & =\f{\ln n}{\ln \ln n}\sez{\f{\ln \ln n}{\ln n}+o\sex{\f{1}{\ln n}}} =-1+o\sex{\f{1}{\ln\ln n}}. \eea \eeex$$ 因此, $\ys=-1$.


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