(171018) 求解微分方程 $\dps{ \frac{\rd y}{\rd x}+\frac{1+xy^3}{1+x^3y}=0. }$.

zhangzujin

(171018) 求解微分方程 $\dps{ \frac{\rd y}{\rd x}+\frac{1+xy^3}{1+x^3y}=0. }$.   

解答:  $$\beex \bea 0&=(1+xy^3)\rd x+(1+x^3y)\rd y =\rd (x+y)   +xy^3\rd x+x^3y\rd y\\ & =\rd (x+y)   +xy^2(y\rd x+x\rd y)+x^2y(x\rd y+y\rd x)   -x^2y^2\rd (x+y) =(1-x^2y^2)\rd (x+y)+\frac{1}{2}(x+y)\rd (x^2y^2). \eea \eeex$$ 当 $x^2y^2\neq 1$, $x+y\neq 0$ 时, $$\bex 0=\frac{2\rd (x+y)}{x+y} -\frac{\rd (x^2y^2)}{x^2y^2-1} =\rd \ln \frac{(x+y)^2}{x^2y^2-1}\ra C(x^2y^2-1)=(x+y)^2. \eex$$ 故原方程的通解为 $(x+y)^2=C(x^2y^2-1)$.