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[科研] (170722) 对速度 $u=(u_1,u_2,u_3)$, 其旋度定义为 $$\bex \bbom=\n\times \bbu=(\p_2u_3-\p_3u_2,\p_3u_1-\p_1u_3,\p_1u_2-\p_2u_1). \eex$$ 而有公式...

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发表于 2018-1-3 12:47:48 | 显示全部楼层 |阅读模式
(170722) 对速度 $u=(u_1,u_2,u_3)$, 其旋度定义为 $$\bex \bbom=\n\times \bbu=(\p_2u_3-\p_3u_2,\p_3u_1-\p_1u_3,\p_1u_2-\p_2u_1). \eex$$ 而有公式 $$\bex \n\cdot\bbu=0\ra \n\times [(\bbu\cdot\n)\bbu] =(\bbu\cdot\n)\bbom-(\bbom\cdot\n)\bbu. \eex$$   

证明:  $$\beex \bea \mbox{左端第一个分量} &=\p_2[(\bbu\cdot\n)u_3]-\p_3[(\bbu\cdot\n)u_2]\\ &=\sum_{i=1}^3 [\p_2(u_i\p_iu_3)-\p_3(u_i\p_iu_2)]\\ &=\sum_{i=1}^3 (\p_2u_i\p_iu_3+u_i\p_i\p_2u_3   -\p_3u_i\p_iu_2-u_i\p_i\p_3u_2)\\ &=\sum_{i=1}^3 u_i\p_i(\p_2u_3-\p_3u_2) +\sum_{i=1}^3 (\p_2u_i\p_iu_3-\p_3u_i\p_iu_2)\\ &=(\bbu\cdot\n)\om_1\\ &\quad +\p_2u_1\p_1u_3+\p_2u_2\p_2u_3+\p_2u_3\p_3u_3\\ &\quad -\p_3u_1\p_1u_2-\p_3u_2\p_2u_2-\p_3u_3\p_3u_2\\ &=(\bbu\cdot\n)\om_1 +\p_2u_1\p_1u_3-\p_3u_1\p_1u_2 +\p_2u_2(\p_2u_3-\p_3u_2) +\p_3u_3(\p_2u_3-\p_3u_2)\\ &=(\bbu\cdot\n)\om_1   +\p_2u_1\p_1u_3-\p_3u_1\p_1u_2   +(\p_2u_2+\p_3u_3)(\p_2u_3-\p_3u_2)\\ &=(\bbu\cdot\n)\om_1   +\p_2u_1\p_1u_3-\p_3u_1\p_1u_2   -\p_1u_1\om_1\\ &=(\bbu\cdot\n)\om_1   -\p_2u_1(\p_3u_1-\p_1u_3)   -\p_3u_1(\p_1u_2-\p_2u_1)   -\om_1\p_1u_1\\ &=(\bbu\cdot\n)\om_1   -\p_2u_1\om_2-\p_3u_1\om_3-\om_1\p_1u_1\\ &=(\bbu\cdot\n)\om_1-(\bbom\cdot\n)u_1\\ &=\mbox{右端第一个分量}. \eea \eeex$$

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