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(191102) 求最大实数 $C$, 使得满足 $f(0)=f(1)=0, f'(0)=2018$ 的一切 $(0,1)$ 内二阶导数连续函数 $f(x)$ 都有 $\int_0^1 |f''(x)|^2\rd x\geq C$.- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 前天 10:47 03 zhangzujin 前天 10:47
(191101) 若正项级数 $\vsm{n}a_n$ 满足 $$\hj{ \vlm{n}n\ln \f{a_n}{a_{n+1}}=g. }$$ 证明: 若 $g>1$, 则级数 $\vsm{n}a_n$ 收敛; 若 $g<1$, 则该级数发散.- [售价 19 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 03 zhangzujin 4 天前
(191031) 设函数 $f: [1,+\infty)\to [\e,+\infty)$ 单调递增, 且满足 $\int_1^{+\infty} \f{\rd x}{f(x)}=+\infty$, 则 $$\hj{ \int_1^{+\infty}\f{\rd x}{x\ln f(x)}=+\infty. }$$- [售价 49 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(191030) 设 $\int_0^\infty f\sex{x+\f{1}{x}}\f{\ln x}{x}\rd x$ 存在, 试求其值.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(191029) 设正项级数 $\vsm{n}a_n$ 发散, 证明以下结论: (1) $\vsm{n}\f{a_n}{S_n}=+\infty$; (2) $\vsm{n} \f{a_n}{S_nS_{n-1}^\al}<+\infty, \al>0$.- [售价 19 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(191028) 设 $g(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上以 $T$ 为周期的连续函数, 且满足 $$\hj{ |g(x)|\leq 1,\quad g(x)\neq 0,\quad \int_0^T g(x)\rd x=0. }$$ 讨论反常积分 $\int_1^{+\infty}\f{g(x)}{x^p+g(x)}\rd x, p>0$ 的敛散性.- [售价 49 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 02 zhangzujin 4 天前
(191027) 讨论 $\vsm{n}\f{1}{n^2-\ln n}$ 的敛散性.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 02 zhangzujin 4 天前
(191026) 讨论 $\int_0^{+\infty} \f{x\rd x}{1+x^2\sin^2x}$ 的敛散性.- [售价 7 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 02 zhangzujin 4 天前
(191025) 讨论 $\int_0^1 \f{\rd x}{x^a(-\ln x)^b}$ 的敛散性, 其中 $a,b\in\bbR$.- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(191024) 计算 $\vls{n}\sez{\sex{1+\f{1}{n}}^n(-1)^n +\sin\f{n\pi}{4}}$.- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 02 zhangzujin 4 天前
(191023) 计算 $\vsm{n}\ln \sez{\f{(2n+1)n}{(n+1)(2n-1)}}$.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(191022) 计算 $\int_0^1 x^n\ln^n x\rd x$, $n\in\bbN$.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(191021) 证明: 若非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 且满足 $\int_1^{+\infty} f(x)\rd x<+\infty$, 则 $\vlm{n}\f{1}{n}\int_1^n yf(y)\rd y=0$.- [售价 7 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(191020) [谢惠民等3.4.5:7] 天文学中的 Kepler 方程 $x-q\sin x=a$ ($0<q<1$) 是一个超越方程, 没有求根公式 (见 [15] 的 22 和 72 页). 求近似解的一个方法是通过迭代. 确定 $x_1$, 然后用递推公式 $x_{n+1}=q\sin x_n+a,\ n\in\bbN_+$. 证明这个方法的正确性. ...- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 6 天前 16 zhangzujin 6 天前
(191019) [谢惠民等3.4.5:6] 设 $\dps{S_n=1+\f{1}{2^p} +\f{1}{3^p}+\cdots+\f{1}{n^p},\ n\in\bbN_+}$, 其中 $p\leq 1$, 证明 $\sed{S_n}$ 发散.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 6 天前 04 zhangzujin 6 天前
(191018) [谢惠民等3.4.5:5] 设从某个数列 $\sed{a_n}$ 定义 $\dps{x_n=\sum_{k=1}^n a_k}$, $\dps{y_n=\sum_{k=1}^n |a_k|}$, $n\in\bbN_+$, 若数列 $\sed{y_n}$ 收敛, 证明数列 $\sed{x_n}$ 也收敛.- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 6 天前 03 zhangzujin 6 天前
(191017) [谢惠民等3.4.5:4] 设 $\dps{a_n=\sin 1+\f{\sin 2}{2!} +\cdots+\f{\sin n}{n!}}$, $n\in\bbN_+$, 证明: (1) 数列 $\sed{a_n}$ 有界, 但不单调; (2) $\sed{a_n}$ 收敛.- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 6 天前 02 zhangzujin 6 天前
(191016) [谢惠民等3.4.5:3] 证明以下数列为基本数列, 因此都是收敛数列. ...- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 6 天前 12 zhangzujin 6 天前
(191015) [谢惠民等3.4.5:2] 用对偶法则于数列收敛的 Cauchy 收敛准则, 以正面方式写出数列发散的充分必要条件.- [售价 2 角] 数学分析 zhangzujin 6 天前 02 zhangzujin 6 天前
(191014) [谢惠民等3.4.5:1] 满足以下条件的数列 $\sed{x_n}$ 是否一定是基本数列? 若回答 ``是'', 请作出证明; 若回答 ``不一定是'', 请举出反例...- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 6 天前 12 zhangzujin 6 天前
(191009) [华中科技大学2003年数学分析考研试题6] 设 $L$ 是椭圆 $4x^2+y^2=1$, ... 求 $$\bex I=\int_Lr \sin(\bbr,\bbtau)\rd s. \eex$$- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 7 天前 16 zhangzujin 7 天前
(191013) [华中科技大学2003年数学分析考研试题10] 证明公式 $$\bex \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}=2\sqrt{n}+C+\ve_n, \eex$$ 其中 $C$ 是与 $n$ 无关的常数, $\dps{\lim_{n\to\infty}\ve_n=0}$.- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 7 天前 05 zhangzujin 7 天前
(191012) [华中科技大学2003年数学分析考研试题9] 在 $[-1,1]$ 上展开 $f(x)=|x|+\sin^2\pi x$ 为 Fourier 级数.- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 7 天前 03 zhangzujin 7 天前
(191011) [华中科技大学2003年数学分析考研试题8] 将函数 $\dps{f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n(2x-1)^n}$ 展开为 $x$ 的幂级数, 并指明其收敛域.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 7 天前 03 zhangzujin 7 天前
(191010) [华中科技大学2003年数学分析考研试题7] 设 $\vSa$ 是椭球面 $\dps{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\ (a,b,c>0)}$, $\rho$ 是原点到 $\vSa$ 的切平面的距离. 求 $\dps{I=\iint_\vSa \rho \rd S}$.- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 7 天前 04 zhangzujin 7 天前
(191008) [华中科技大学2003年数学分析考研试题5] 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上两次连续可微, $\dps{c=\frac{a+b}{2}}$. 证明: $$\bex \int_a^b f(x)\rd x=(b-a) f(c)+\frac{1}{2}\int_c^b (b-x)^2f''(x)\rd x +\frac{1}{2}\int_a^c (x-a)^2f''(x)\rd x. \eex$$- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 7 天前 04 zhangzujin 7 天前
(191007) [华中科技大学2003年数学分析考研试题4] 设 $a,b>0$, 证明不等式: $$\bex \frac{a^3}{x^2}+\frac{b^3}{(1-x)^2}\geq (a+b)^3,\quad (0<x<1). \eex$$- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 7 天前 03 zhangzujin 7 天前
(191006) [华中科技大学2003年数学分析考研试题3] 设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, $g(x)>0$, $g(x)$ 在 $(a,b)$ 内可微且 $g'(x)\neq 0$. 证明存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex g'(\xi)\int_a^b f(x)\rd x =f(\xi)g(\xi)\ln\frac{g(b)}{g(a)}. \eex$$- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 7 天前 03 zhangzujin 7 天前
(191005) [华中科技大学2003年数学分析考研试题2] 设 $u(x,y)$ 是二次连续可微函数, 用极坐标代换 $x=r\cos\theta,y=r\sin \theta$ 变换式子 $\lap u=u_{xx}+u_{yy}$.- [售价 8 角] 数学分析 zhangzujin 7 天前 04 zhangzujin 7 天前
(191004) [华中科技大学2003年数学分析考研试题1] 求极限 $\dps{l=\lim_{m,n\to \infty}\frac{\sex{1+\frac{1}{n}}^{n\sin\frac{1}{m}}-\sex{1+\frac{1}{n}}^{n\ln\sex{1+\frac{1}{m}}}}{1-\cos\frac{1}{m}}}$.- [售价 8 角] 数学分析 zhangzujin 7 天前 04 zhangzujin 7 天前
(191003) [谢惠民等20.5.2:1-8] ... $$\hj{ \f{\p f}{\p x}\f{\p g}{\p y} -\f{\p f}{\p y}\f{\p g}{\p x}\neq 0. }$$ 又设有界闭区域 $D\subset G$. 证明: 在 $D$ 内满足方程组 $$\hj{ f(x,y)=0,\quad g(x,y)=0 }$$ 的点至多有有限个.- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-13 112 zhangzujin 2019-5-13 08:34
(191002) 设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二阶导数连续, 证明: $$\hj{ \int_{-1}^1 xf(x)\rd x =\f{2}{3}f'(\xi)+\f{1}{3}\xi f''(\xi). }$$- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-10 06 zhangzujin 2019-5-10 11:48
(191001) 证明对任意连续函数 $f(x)$, 有 $$\hj{ \max\sed{ \int_{-1}^1 |x-\sin^2x-f(x)|\rd x, \int_{-1}^1 |\cos^2x-f(x)|\rd x }\geq 1. }$$- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-10 02 zhangzujin 2019-5-10 11:47
(190930) 计算 $\int_0^\f{\pi} {2}\f{1}{1+\tan^{2015}x}\rd x$.- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-10 03 zhangzujin 2019-5-10 11:46
(190929) 计算 $\int\f{\sin x}{3\cos x+4\sin x}\rd x$.- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-10 02 zhangzujin 2019-5-10 11:44
(190928) 判别级数 $\vsm{n} \f{1}{\sqrt[n]{(n!)^\al}}$ 的敛散性, 其中 $\al>0$ 为常数.- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-9 04 zhangzujin 2019-5-9 20:47
(190927) 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 证明: $$\hj{ \sez{\int_0^1 \f{f(x)}{t^2+x^2}\rd x}^2 \leq \f{\pi}{2t} \int_0^1 \f{f^2(x)}{t^2+x^2}\rd x, (t>0). }$$- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-9 04 zhangzujin 2019-5-9 20:46
(190926) 设 $\varphi(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, 且 $\varphi(0)=0, \varphi(1)=1$. 证明: 对任意正数 $a,b$, 必存在 $(0,1)$ 内的两个数 $\xi$ 与 $\eta$, 使 $$\hj{ \f{a}{\varphi'(\xi)} +\f{b}{\varphi'(\eta)}=a+b. }$$- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-9 01 zhangzujin 2019-5-9 20:25
(190925) 求积分 $\int_\f{1}{2}^2 \sex{1+x-\f{1}{x}}\e^{x+\f{1}{x}}\rd x$.- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-9 03 zhangzujin 2019-5-9 09:55
(190924) 设 $S_n=\sum_{k=1}^n \arctan \f{1}{2k^2}$, 求 $\vlm{n}S_n$.- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-9 02 zhangzujin 2019-5-9 09:54
(190923) 设 $f(x)$ 连续, 且当 $x>-1$ 时, $f(x)\sez{\int_0^x f(t)\rd t+1}=\f{x\e^x}{2(1+x)^2}$, 求 $f(x)$.- [售价 8 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-9 04 zhangzujin 2019-5-9 06:53
(190922) 如果两个通项递减的正项级数 $\vsm{n}a_n$ 和 $\vsm{n}b_n$ 都发散, 问: $\vsm{n}\min\sed{a_n,b_n}$ 是否可能收敛?- [售价 8 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-9 01 zhangzujin 2019-5-9 06:52
(190921) [谢惠民等5.7.2:2-20] 设 $f$ 是将区间 $[a,b]$ 映入自身的连续映射. 从 $[a,b]$ 内任一点 $x$ 出发, 用 $x_1=x, x_{n+1}=f(x_n)\ (n\in\bbN_+)$ 生成迭代数列 $\sed{x_n}$. 证明: $\sed{x_n}$ 收敛的充分必要条件是 $\dps{\vlm{n}(x_{n+1}-x_n)=0}$.- [售价 49 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-7 05 zhangzujin 2019-5-7 12:34
(190920) [谢惠民等5.7.2:2-19] 设 $f\in C(0,+\infty)$, 对每个 $x_0>0$, 有 $\dps{\vlm{n}f(nx_0)=0}$. 证明: $\dps{\vlmp{x}f(x)=0}$.- [售价 49 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-7 01 zhangzujin 2019-5-7 12:32
(190919) [谢惠民等5.7.2:2-18] ... 证明: 任何函数的严格极大值点 (严格极小值点) 至多可列, 并举出同时有可列个严格极大值点和严格极小值点的例子. ...- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-7 18 zhangzujin 2019-5-7 12:31
(190918) [谢惠民等5.7.2:2-17] (本题是上一题的进一步加强) 设 $f$ 在开区间上连续, 且于每一点 $x\in I$ 处取到极值, 证明: $f$ 为 $I$ 上的常值函数.- [售价 19 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-7 01 zhangzujin 2019-5-7 12:29
(190917) [谢惠民等5.7.2:2-16] 设 $f$ 在开区间 $I$ 上连续, 且于每点 $x\in I$ 取到极大值 (或者于每点取到极小值). 证明: $f$ 为 $I$ 上的常值函数.- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-7 02 zhangzujin 2019-5-7 12:28
(190916) [谢惠民等5.7.2:2-15] 证明: 函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续的充分必要条件是: 对每一个 $\ve>0$, 存在正数 $N$, 使得当 $x,y\in I,\ x\neq y$ 且 $\dps{\sev{\f{f(x)-f(y)}{x-y}}>N}$ 时, 成立 $|f(x)-f(y)|<\ve$.- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-7 02 zhangzujin 2019-5-7 12:26
(190915) [谢惠民等5.7.2:2-14] 设 $f,g$ 是周期函数, 且有 $\dps{\vlmp{x}[f(x)-g(x)]=0}$, 证明: $f(x)\equiv g(x)$. (注意: 本题并不需要 $f$ 和 $g$ 为连续函数的条件.)- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-7 03 zhangzujin 2019-5-7 08:27
(190914) [谢惠民等5.7.2:2-13] 设 $f_1,f_2$ 是分别以 $T_1,T_2$ 为周期的连续函数, 且均非常值函数. 证明: 若周期 $T_1,T_2$ 不可公约, 则 $f_1+f_2$ 不是周期函数.- [售价 29 角] 数学分析 zhangzujin 2019-5-7 02 zhangzujin 2019-5-7 08:26

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