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(180924) [赣南师范大学2017数分] 设 $f(x)=\seddm{ 1,&|x|<1\\ 0,&|x|=1\\ -1,&|x|>1 }$, $g(x)=x^2,\ -\infty<x<+\infty$. 计算 $f(g(x))$, $g(f(x))$. 数学分析 zhangzujin 昨天 19:47 01 zhangzujin 昨天 19:47
(180923) $\dps{\vlm{n}|n\sin n|=+\infty}$ 对么? 试说明理由.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 19:44 01 zhangzujin 昨天 19:44
(180922) 试证: (1) ... (2) 若 $\al$ 是无理数, 则 $\dps{\exists\ \bbZ_+\ni q_n\nearrow +\infty,\ p_n\in\bbZ,\st \sev{\al-\f{p_n}{q_n}}<\f{1}{q_n^2}}.$- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 19:43 01 zhangzujin 昨天 19:43
(180921) 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续可微, $\lm\in\bbR$. 试证: $f'(x)\e^{\lm x}$ 递增等价于 $f'(x)+\lm f(x)$ 递增.- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 19:36 01 zhangzujin 昨天 19:36
(180920) 试证: $\dps{\vlm{n}\sez{\f{3\cdot 7\cdots(4n-1)}{5\cdot 9\cdots (4n+1)}}^2(4n+3)=3\f{\int_0^\f{\pi}{2}\sin^\f{3}{2}x\rd x}{\int_0^\f{\pi}{2} \sin^\f{1}{2}x\rd x}}$.- [售价 8 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 19:33 01 zhangzujin 昨天 19:33
(180919) 设区域 $D:\ -1<x<1$, $-1<y<x$, $\dps{f(x)=x^2+x\int_0^{x^2} f(x-t)\rd t+\iint_D f(xy)\rd x\rd y}$, $f(1)=0$. 试求 $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x}$.- [售价 8 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 19:00 01 zhangzujin 昨天 19:00
(180918) 设 $D$ 是闭单位圆, 中心在原点. 函数 $f: D\to\bbR$ 是二阶连续可微的凸函数, 且 $f\geq 0$ 在 $\p D$. 试证: $$\bex f(0)\geq-\f{1}{\sqrt{\pi}}\sez{\iint_D (f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2)\rd x\rd y}^\f{1}{2}. \eex$$- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 18:58 03 zhangzujin 昨天 18:58
(180917) [中山大学2018高代] 设 $\sigma$ 是 $n$ 维实向量空间 $V$ 上的线性变换, 并且有正整数 $m$ 使得 $\sigma^m$ 是 $V$ 上的恒等变换. 证明 $V$ 中存在一个基使得 $\sigma$ 在其上的矩阵为正交矩阵.- [售价 9 角] 高等代数 zhangzujin 昨天 18:57 01 zhangzujin 昨天 18:57
(180916) [南开大学2010数分] 设对任意 $a>0$, $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上黎曼可积, 且 $\dps{\lim_{x\to\infty} f(x)=A}$. 证明: $$\bex \lim_{\al\to 0^+} \alpha\int_0^{+\infty}e^{-\alpha x}f(x)\rd x=A. \eex$$ 数学分析 zhangzujin 昨天 18:56 01 zhangzujin 昨天 18:56
(180915) [南开大学2010数分] 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在连续的二阶导数, ... 证明: $\dps{ \sev{\int_a^b f(x)\rd x} \leq \frac{M_1}{2}\sex{b-a}^2 +\frac{M_2}{3}\sex{b-a}^3. }$- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 18:55 11 zhangzujin 昨天 18:56
(180914) [南开大学2010数分] 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上存在二阶导数, 且 $\dps{ f(0)=0,\ f(1)=3,\ \min_{x\in [0,1]}f(x)=-1. }$ 证明: $$\hj{ \exists\ c\in (0,1),\st f''(c)\geq 18. }$$- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 18:54 01 zhangzujin 昨天 18:54
(180913) [南开大学2010数分] 证明并讨论如下问题: (1) ... (2) 是否存在 $\bbR$ 上的连续函数 $f(x)$ 使得 $f(x)$ 在有理点上取值为无理数, 在无理点上取值为有理数? 为什么?- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 18:53 11 zhangzujin 昨天 18:53
(180912) [南开大学2010数分] 讨论级数 $\dps{\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}}$, 它是绝对收敛, 条件收敛还是发散的?- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 18:52 01 zhangzujin 昨天 18:52
(180911) [南开大学2010数分] 求级数 $\dps{\sum_{n=1}^\infty\frac{n(n+2)}{3^n}}$.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 18:51 01 zhangzujin 昨天 18:51
(180910) [南开大学2010数分] 计算积分 $\dps{I=\iint_D xyz \rd x\rd y\rd z}$, 其中 $D$ 位于第一象限且由曲面 $$\bex z=p(x^2+y^2),\ z=q(x^2+y^2),\ xy=a,\ xy=b,\ y=\alpha x,\ y=\beta x \eex$$ 所围, 这里 $0<p<q$, $0<a<b$, $0<\alpha<\beta$.- [售价 8 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 18:51 01 zhangzujin 昨天 18:51
(180909) [南开大学2010数分] 计算积分 $\dps{I=\iint_S (x+z)\rd S}$, 其中 $S$ 是曲面 $x^2+z^2=2az\ (a>0)$ 被曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 所截取的有限部分.- [售价 7 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 18:50 01 zhangzujin 昨天 18:50
(180908) [南开大学2010数分] 求极限 $\dps{\lim_{x\to \infty}\sez{\sex{x-\frac{1}{2}}^2-x^4\ln^2\sex{1+\frac{1}{x}}}}$.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 18:49 01 zhangzujin 昨天 18:49
(180907) [北京邮电大学2018数分] 证明 $\dps{\int_0^\infty \f{1}{(1+x^2)(1+x^\al)}\rd x=\f{\pi}{4}}$, 其中 $\al$ 为常数.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 18:49 01 zhangzujin 昨天 18:49
(180906) [北京邮电大学2018数分] 证明不等式 $\dps{\f{x(1-x)}{\sin (\pi x)}<\f{1}{\pi},\ x\in (0,1)}$.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 昨天 18:48 01 zhangzujin 昨天 18:48
(180905) [北京邮电大学2018数分] 若正项级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛. 证明: 级数 $\dps{\vsm{n}(a_n^{a_n}-1)^2}$ 收敛.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 07 zhangzujin 4 天前
(180904) [北京邮电大学2018数分] 设 $f(x,y)$ 在 $0\leq x,y\leq 1$ 内连续, $f(0,0)=0$, ... 求 $\dps{\lim_{x\to 0^+}\f{ \int_0^{x^2}\rd t\int_x^{\sqrt{t}} f(t,u)\rd u}{1-\e^{-\f{x^4}{4}}}}$.- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 04 zhangzujin 4 天前
(180903) [北京邮电大学2018数分] 设 $f(x)=\ln (3+7x-6x^2)$, 求 $f^{(n)}(1)$.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 02 zhangzujin 4 天前
(180902) [北京邮电大学2018数分] 当 $x\to\infty$ 时, 函数 $\dps{f(x)=\sex{x+\f{1}{2}\ln \sex{1+\f{1}{x}}-1}}$ 与 $\dps{\f{a}{x^n}}$ 是等价无穷小, 求常数 $a$ 及 $n$.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 02 zhangzujin 4 天前
(180901) [宁波大学2018数分] 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续, 且对任意的 $x_0>a,\ \sed{f(nx_0)}_{n=1}^\infty$ 极限存在. 证明: $\dps{\vlmp{x}f(x)}$ 存在.- [售价 9 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180831) [宁波大学2018数分] 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, $f(0)=f(1)$. 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $2f'(\xi)+(\xi-1)f''(\xi)=0$.- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 03 zhangzujin 4 天前
(180830) [湖南大学2017高代] 设 $V=\bbR^n$ 是 $n$ 维向量空间, $A$ 是 $n$ 阶反对称矩阵, 定义 $f:V\times V\to \bbR$ 如下: $$\bex f(\al,\be)=\al^TA\be, \eex$$ ... (2) 矩阵 $A$ 的秩 $\r(A)=n-\dim N$, 其中 $\dim N$ 表示 $N$ 的维数; ...- [售价 6 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 12 zhangzujin 4 天前
(180829) [湖南大学2017高代] 设 $\sef{,}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的内积, 对 $V$ 中任意一个单位向量 $\eta$, 定义 $V$ 上的变换 $$\bex A_\eta(\al)=\al-2\sef{\eta,\al}\eta. \eex$$ 证明: (1) $A_\eta$ 是正交变换; (2) ...; (3) ...- [售价 6 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 12 zhangzujin 4 天前
(180828) [湖南大学2017高代] 设 $A$ 为 $n$ 阶是对称矩阵, $\dps{ S_A=\sed{x\in\bbR^n; x^TAx=0}. }$ 这里 $x^T$ 表示 $x$ 的转置向量, $B^T$ 表示矩阵的转置. 证明: (1) 若 $A$ 为半正定矩阵, 则存在 $n$ 阶实方阵 $B$ 使得 $A=B^TB$; (2) $S_A$ 为 $\bbR^n$ 的线性子...- [售价 9 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180827) [湖南大学2017高代] 设 $m_A(x)$, $m_B(x)$ 分别为 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 的最小多项式, $\lm_A(x)$ 为矩阵 $A$ 的特征多项式, 试问当 $m_A(x), m_B(x)$ 互素时, $\lm_A(B)$ 是否可逆? 证明你的结论.- [售价 5 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 02 zhangzujin 4 天前
(180826) [湖南大学2017高代] 设 $A$ 为实对称正定矩阵, $B$ 为实对称矩阵, $P^T$ 表示矩阵的转置. 证明: (1) 存在可逆矩阵 $P$, 使得 $P^T(A+B)P$ 为对角矩阵; (2) 若 $B$ 也是正定的, 则 $\dps{\f{1}{2}(A+B)-2(A^{-1}+B^{-1})^{-1}}$ 为半正定矩阵.- [售价 9 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180825) [湖南大学2017高代] 设 $n$ 阶实方阵 $A$ 的秩 $\r(A)=r$, 证明: (1) 存在列满秩 $n\times r$ 实矩阵 $B$ 和行满秩 $r\times n$ 矩阵 $C$, 使得 $A=BC$; (2) 若 $\bbR^n=\sed{y\in\bbR^n;y=Bx,x\in\bbR^r}\oplus \sed{x\in\bbR^n;Cx=0}$, 则矩阵 $CB$ 可逆, 其...- [售价 5 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180824) [湖南大学2017高代] 证明: 证明: (1) 线性方程组 $Ax=b$ 有解的充要条件是 $b$ 与齐次线性方程组 $A^Tx=0$ 的解空间正交. (2) 若线性方程组 $Ax=b$ 无解, 则存在 $\hat x\in\bbR^n$, 使得对任意 $x\in\bbR^n$ 有 $\dps{ \sen{A\hat x-b}\leq \sen{Ax-b}, }$ ...- [售价 8 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 11 zhangzujin 4 天前
(180823) [湖南大学2017高代] 设矩阵 ... (1) 证明存在 $n-1$ 阶多项式 $f(\lm)$, 使得 $A=f(P)$; (2) 求矩阵 $A$ 的所有特征值与特征向量; (3) 计算行列式 $|A|$.- [售价 9 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 11 zhangzujin 4 天前
(180822) [湖南大学2017高代] 设 $A$ 是一个 $n$ 级方阵. 证明: 存在正整数 $m$, 使得对任意 $s\geq m$ 有 $\dps{ \r(A^s)=\r(A^m), }$ 这里 $\r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩.- [售价 5 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180821) [湖南大学2017高代] (1) 设 $a,b,c,d$ 均为有理数, $\sqrt{d}$ 是无理数, 且 $b\neq 0$. 若 $a+b\sqrt{d}$ 是有理系数多项式 $f(x)$ 的根, 证明 $a-b\sqrt{d}$ 也是 $f(x)$ 的根. (2) 构造一个次数最低的首项系数为 ... $1+\sqrt{2}$, $3-\i$ 都是它的根.- [售价 9 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 11 zhangzujin 4 天前
(180820) [华南理工大学2017高代] 设 $\scrA$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的对称变换. 证明: 对 $\forall\ \al\in V$ 都有 $(\scrA\al,\al)\geq 0$ 的充分必要条件是 $\scrA$ 的特征值全是非负实数.- [售价 5 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180819) [华南理工大学2017高代] 设 $A$ 是复数域 $\bbC$ 上的任一个 $n$ 阶方阵. ...(2) 对 $n$ 作归纳法证明, $A$ 必相似于一个上三角矩阵: ...- [售价 6 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 11 zhangzujin 4 天前
(180818) [华南理工大学2017高代] 设 $f(x)$, $g(x)$ 是数域 $\bbP$ 上的多项式, $(f(x),g(x))=1$, $A$ 是 $\bbP$ 上的 $n$ 阶方阵. 证明: $f(A)g(A)=0$ 当且仅当 $\r(f(A))+\r(g(A))=n$.- [售价 6 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180817) [华南理工大学2017高代] 设 $V$ 是数域 $\bbP$ 上的 $n$ 维线性空间, $V_1$ 是 $V$ 的子空间且 $\dim V_1\geq \f{n}{2}$. (1) 证明: ... (2) 问: 当 $\dim V_1<\f{n}{2}$ 时, 上述结论是否成立? 为什么?- [售价 9 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 11 zhangzujin 4 天前
(180816) [华南理工大学2017高代] 已知 $\al_1,\al_2,\al_3$ 是三维欧氏空间 $V$ 的一组基, 且这组基的度量矩阵为 $\dps{ A=\sexm{ 1&-1&1\\ -1&2&0\\ 1&0&4 }, }$ 求 $V$ 的一组标准正交基 (用 $\al_1,\al_2,\al_3$ 表示出来).- [售价 6 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180815) [华南理工大学2017高代] 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $A$ 的 $(i,j)$- 元素 $a_{ij}=|i-j|$, 求行列式 $|A|$ 的值.- [售价 5 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 12 zhangzujin 4 天前
(180814) [华南理工大学2017高代] 设三元非齐次线性方程组 $AX=b$ 的系数矩阵的秩 $\r(A)=1$, ... 求该方程组的基础解系.- [售价 5 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 11 zhangzujin 4 天前
(180813) [华南理工大学2017高代] 设 $g(x)$, $h(x)$ 是数域 $\bbP$ 上的多项式, $\p(g(x))=m$,$\p(h(x))=n$, 且 $(g(x),h(x))=1$. ..证明: 存在 $r(x), s(x)\in \bbP[x]$ 使得 $\dps{ f(x)=r(x)g(x)+s(x)h(x), ...- [售价 5 角] 高等代数 zhangzujin 4 天前 12 zhangzujin 4 天前
(180812) [华南理工大学2017数分] 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导且满足 (1) $f'(x)>0$, $f''(x)>0$ 对 $\forall\ x\in [a,b]$; (2) $f(a)<0$, $f(b)>0$; 令 $\dps{ x_1=b-\f{f(b)}{f'(b)},\ x_{n+1}=x_n-\f{f(x_n)}{f'(x_n)}\ (n=1,2,\cdots). }$ 试证 ...- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 13 zhangzujin 4 天前
(180811) [华南理工大学2017数分] 设 $f(x,y)$ 的二阶混合偏导数在 $(x_0,y_0)$ 的邻域内连续, 试证存在 $0<\tt_i<1$ $(i=1,2,3,4)$, 使得 $$\hj{ f_{xy}(x_0+\tt_1\lap x,y_0+\tt_2\lap y) =f_{yx}(x_0+\tt_3\lap x,y_0+\tt_4\lap y). }$$- [售价 6 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 02 zhangzujin 4 天前
(180810) [华南理工大学2017数分] 设不收敛数列 $\sed{x_n}$ 有界, 试证存在 $\sed{x_n}$ 的两个收敛子列 $\sed{x_{n_k}^{(1)}}$ 及 $\sed{x_{n_k}^{(2)}}$ 满足 $$\bex \vlm{k}x_{n_k}^{(1)} \neq \vlm{k}x_{n_k}^{(2)}. \eex$$- [售价 3 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180809) [华南理工大学2017数分] 研究 $u=xyz$ 在条件 $x^2+y^2-z^2=1$ 及 $x+y+z=0$ 之下是否有极值.- [售价 3 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180808) [华南理工大学2017数分] 求 $\dps{\vsm{n} n^2x^n}$ 的收敛域及和函数.- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180807) [华南理工大学2017数分] 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续, 且对 $\forall\ \ve>0$, 积分 $\dps{\int_\ve^{+\infty}\f{f(x)}{x}\rd x}$ 都收敛, 试证对 $\forall\ z>y>0$, 有 $\dps{\int_0^{+\infty} \...- [售价 5 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前
(180806) [华南理工大学2017数分] 设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 区间连续, 取 $a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$, 试证存在 $\xi\in [x_1,x_n]$, 使得 $\dps{f(\xi)=\f{1}{n}\sum_{k=1}^n f(x_k)}$.- [售价 3 角] 数学分析 zhangzujin 4 天前 01 zhangzujin 4 天前

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