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[点集拓扑] (170412) [熊金城点集拓扑习题6-1-01] 设 $X$ 是一个拓扑空间, 证明: $X$ 是 $T_0$ 空间当且仅当对于任何 $x,y\in X$, $x\neq y$, 或者 $\sed{x}\cap \overline{\sed{y}}=\vno$ 或者 $\sed{y}\cap \overline{\sed{x}}=\vno$. zhangzujin 2017-7-7 041 zhangzujin 2017-7-7 20:27
[点集拓扑] (170411) [熊金城点集拓扑习题5-3-01] 设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间, $f:X\to Y$ 是一个连续映射. 证明: 如果 $X$ 是一个 Lindel\"off 空间, 则 $f(X)$ 也是一个 Lindel\"off 空间. zhangzujin 2017-7-7 047 zhangzujin 2017-7-7 20:26
[点集拓扑] (170410) [熊金城点集拓扑习题5-2-04] 设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间, $f:X\to Y$ 是一个连续映射. 证明: 如果 $X$ 是一个可分空间, 则 $f(X)$ 也是可分的. (这说明可分性是一个连续映射所保持的性质, 并且由此可... zhangzujin 2017-7-7 028 zhangzujin 2017-7-7 20:25
[点集拓扑] (170409) [熊金城点集拓扑习题5-1-06] 设 $X$ 是一个满足第一可数性公理的空间, $A\subset X$. 证明 $A$ 是一个开子集当且仅当对于 $X$ 中的任何一个序列 $\sed{x_i}$, 只要 $\dps{\vlm{i}x_i=x\in A}$, 则存在 $N>0$ 使得当 $i\geq N$ 时有 $x_i\in A$. zhangzujin 2017-7-7 032 zhangzujin 2017-7-7 20:24
[点集拓扑] (170408) [熊金城点集拓扑习题4-5-01] 设 $A\subset \bbR$, 试证: $A$ 是连通的 $\lra A$ 是道路连通的. zhangzujin 2017-7-7 048 zhangzujin 2017-7-7 20:23
[点集拓扑] (170407) [熊金城点集拓扑习题4-4-02] 证明: 任何一个有限补空间和任何一个可数补空间都是局部连通空间. zhangzujin 2017-7-7 048 zhangzujin 2017-7-7 20:23
[点集拓扑] (170406) [熊金城点集拓扑习题4-3-01] 设 $X$ 是一个拓扑空间, $x,y\in X$ 是连通的. 证明: 如果 $E$ 是一个既开又闭的子集, 则或者 $x,y\in E$ 或者 $x,y\not\in E$. (此命题的逆命题不成立, 见下题.) zhangzujin 2017-7-7 039 zhangzujin 2017-7-7 20:22
[点集拓扑] (170405) [熊金城点集拓扑习题4-1-01] 设 $A$ 和 $B$ 是拓扑空间 $X$ 的隔离子集, 证明: 如果 $A_1\subset A$, $B_1\subset B$, 则 $A_1$ 和 $B_1$ 也是隔离子集. zhangzujin 2017-7-7 043 zhangzujin 2017-7-7 20:21
[点集拓扑] (170404) [熊金城点集拓扑习题3-3-05] 设 $X, Y$ 是两个拓扑空间, $f:X\to Y$ 是商映射. 令 $R=\sed{(x,y)\in X^2; f(x)=f(y)}$. 试证: (1) $R$ 是 $X$ 中的一个等价关系; (2) $Y$ 同胚于商空间 $X/R$. zhangzujin 2017-7-7 048 zhangzujin 2017-7-7 19:32
[点集拓扑] (170326) [熊金城点集拓扑习题3-2-01] 设 $(X,\rho)$ 是一个度量空间, 证明映射 $\rho:X\times X\to \bbR$ 是一个连续映射. zhangzujin 2017-7-7 052 zhangzujin 2017-7-7 17:18
[点集拓扑] (170325) [熊金城点集拓扑习题3-1-02] 如果 $Y$ 是拓扑空间 $X$ 的一个开 (闭) 子集, 则 $Y$ 作为 $X$ 的子空间时特别地被称为 $X$ 的开 (闭) 子空间. 证明: (1) 如果 $Y$ 是拓扑空间 $X$ 的一个开子空间, 则 $A\subset Y$ 是 $Y$ 中的一个开集... zhangzujin 2017-7-7 032 zhangzujin 2017-7-7 17:16
[点集拓扑] (170324) [熊金城点集拓扑习题2-6-07] 设 $X$ 是一个度量空间. 证明: 如果 $X$ 有一个基只含有有限个元素, 则 $X$ 必为含有有限多个点的离散空间. zhangzujin 2017-7-7 033 zhangzujin 2017-7-7 17:14
[点集拓扑] (170323) [熊金城点集拓扑习题2-5-02] 设 $X$ 是一个拓扑空间, $A,B\subset X$. 证明: (1) $A^-=A\cup \p A$, $A^o=A\bs \p A$; (2) $\p (A^o)\subset \p A$, $\p (A^-)\subset \p A$; (3) $\p (A\cup B)\subset \p A\cup \p B$, $(A\cup B)^o\supset A^o\cup B^o$; (4)... zhangzujin 2017-7-7 051 zhangzujin 2017-7-7 17:12
[点集拓扑] (170322) [熊金城点集拓扑习题2-4-01] 求集合的导集和闭包: (1) 设 $A$ 是有限补空间 $X$ 中的一个无限子集, 求 $A$ 的导集和闭包; (2) 设 $A$ 是可数补空间 $X$ 中的一个不可数子集, 求 $A$ 的导集和闭包; (3) ... zhangzujin 2017-7-7 035 zhangzujin 2017-7-7 17:10
[点集拓扑] (170321) [熊金城点集拓扑习题2-2-10] 试证: (1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射. zhangzujin 2017-7-7 048 zhangzujin 2017-7-7 17:08
[点集拓扑] (170320) [熊金城点集拓扑习题2-1-01] 设 $\si,\si':\bbR\times \bbR\to\bbR$ 使得对任意 $x,y\in\bbR$, 有 $\si(x,y)=(x-y)^2$ 和 $\si'(x,y)=|x^2-y^2|$. 证明 $\si$ 和 $\si'$ 都不是 $\bbR$ 的度量. zhangzujin 2017-7-7 044 zhangzujin 2017-7-7 17:07
[点集拓扑] (170318) [熊金城点集拓扑习题1-7-02] 设 $A$ 是实数集合 $\bbR$ 的一个子集, 它包含着某个非退化的开区间, 即存在 $a,b\in\bbR$, $a<b$, 使得 $A\supset (a,b)$. 证明 $\card A=\aleph$. zhangzujin 2017-7-7 032 zhangzujin 2017-7-7 17:05
[点集拓扑] (170317) [熊金城点集拓扑习题1-5-01] 设 $X,Y$ 是两个集合, $f: X\to Y$. 试证: (1) 对于任意 $A\subset X$, $$\bex A\subset f^{-1}(f(A)); \eex$$ (2) 对于任意 $B\subset Y$, $$\bex B\supset f(f^{-1}(B)), \eex$$ (3) $f$ 是一个满射当且仅当 ... zhangzujin 2017-7-7 029 zhangzujin 2017-7-7 17:04
[点集拓扑] (170316) [熊金城点集拓扑习题1-4-04] 实数集合 $\bbR$ 中第一个关系 $R$ 定义为 $$\bex R=\sed{(x,y)\in\bbR^2;\ x-y\in \bbZ}. \eex$$ 证明 $R$ 是一个等价关系. zhangzujin 2017-7-7 050 zhangzujin 2017-7-7 17:01
[点集拓扑] (170315) [熊金城点集拓扑习题1-3-03] 设 $X=\sed{a,b,c}$, $Y=\sed{d,e,f,g}$, $R=\sed{(a,d),(a,e),(b,f)}$, $A=\sed{a,c}$, $B=\sed{d,e,g}$. 试求 $R(A)$, $R^{-1}(B)$, $R$ 的值域与定义域. zhangzujin 2017-7-7 042 zhangzujin 2017-7-7 17:00
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