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[实变函数] (190314) 设 $f$ 是测度有限的可测集 $E$ 上的非负可测函数, 试证: $\dps{\int_Ef(x)\rd x<\infty}$ 的充分必要条件是 $\dps{\vsm{k}mE[f\geq k]<\infty}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-3-28 19:55 058 zhangzujin 2019-3-28 19:55
[实变函数] (180330) [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设 $mE<+\infty$, $f_n(x),f(x)$ 在 $E$ 上均 $\cal$ 可积, 则 $\dps{ \vlm{n}\int_E |f_n(x)-f(x)|\rd x=0 }$ 当且仅当 (1). $f_n\ra f$; (2). 对任给 $\ve>0$, ... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-3-15 19:09 071 zhangzujin 2019-3-15 19:09
[实变函数] (180329) [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设 $f_n(x)$ 为可测集 $E$ 上 $\ae$ 有限的可测函数列 ($mE>0$), 而 $f_n(x)$ 在 $E$ 上 $\ae$ 收敛, 证明存在常数 $C$ 及正测度集 $E_0\subset E$ 使得在 $E_0$ 上, 对任意 $n$, 有 $|f_n(x)|\leq C$. - [售价 7 角] zhangzujin 2019-3-15 19:08 067 zhangzujin 2019-3-15 19:08
[实变函数] (180328) [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设 $f(x)$ 是 $E$ 上的函数, 对任意 $\del>0$, 存在闭子集 $E_\del\subset E$, 使得 $f(x)$ 在 $E_\del$ 上连续, 且 $m(E\bs E_\del)<\del$. 证明: $f$ 是 $E$ 上 ... - [售价 6 角] zhangzujin 2019-3-15 19:07 069 zhangzujin 2019-3-15 19:07
[实变函数] (180327) [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设在 $E$ 上 $f_n\ra f$, 则存在子列 $\sed{f_{n_k}}$ 在 $E$ 上 $\ae$ 收敛于 $f$. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-3-15 19:07 059 zhangzujin 2019-3-15 19:07
[实变函数] (180326) [南京师范大学2016实变函数复试试题] 证明对任意 $p>0$, $\dps{\vlm{n}\int_0^\infty \f{\ln^p(x+n)}{n}\e^{-x}\cos x\rd x=0}$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-3-15 19:05 054 zhangzujin 2019-3-15 19:05
[实变函数] (180325) [南京师范大学2016实变函数复试试题] (1). 叙述可测集 $E\subset \bbR^n$ 上可测函数的定义, 并讨论函数 $f(x)$ 与 $|f(x)|$ 可测性之间的关系. (2). 证明 $\bbR^n$ 中的任意开集必可表成可数个闭集之并. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-3-15 19:03 066 zhangzujin 2019-3-15 19:03
[实变函数] (180324) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $\sed{f_n}$ 为可测集 $E$ 上的可测函数列, 且 $\dps{\vsm{n}\int_E|f_n(x)|\rd x<\infty}$, 试证: (1) $\dps{\vlm{n}f_n(x)=0,\ae}$ 于 $E$; (2) ... - [售价 8 角] zhangzujin 2019-3-15 19:02 181 zhangzujin 2019-3-15 19:03
[实变函数] (180323) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $E$ 可测, $f$ 在 $E$ 上有定义, 且满足: $\forall\ \ve>0$, 存在 $E$ 的可测子集 $E_\ve$, 使得 $f$ 在 $E_\ve$ 上可测, 且 $m(E\bs E_\ve)<\ve$, 则 $f$ 在 $E$ 上可测. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-3-15 19:01 058 zhangzujin 2019-3-15 19:01
[实变函数] (180322) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 试证: (1) $A$ 为任意集, 则 $$\bex m^*A=\inf\sed{mG;\ A\subset G,\ G\mbox{ 为开集}}; \eex$$ (2) $A$ 为任意集, 则存在可测集 $B$, 使得 $B\supset A$, 且 $m^*A=mB$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-3-15 19:01 058 zhangzujin 2019-3-15 19:01
[实变函数] (180321) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $A$ 是无限集, $B$ 为至多可数集, 则 $A\cup B$ 与 $A$ 对等. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-3-15 19:00 059 zhangzujin 2019-3-15 19:00
[实变函数] (180320) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 求极限 $\dps{\vlm{n}\int_{[0,1]} \f{nx}{1+n^2x^2}\e^{\sin x}\rd x}$. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-3-15 19:00 066 zhangzujin 2019-3-15 19:00
[实变函数] (180319) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $E=[0,1]$, $F$ 是 Cantor 集, $\dps{ f(x)=\seddm{ \e^x,&x\in [0,1/2)\bs F\\ \cos \pi x,&x\in [1/2,1]\bs F\\ \e^{x^2},&x\in F } }$, 试求 $\dps{\int_E f(x)\rd x}$. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-3-15 18:59 073 zhangzujin 2019-3-15 18:59
[实变函数] (171202) 设 $f$ 是 $[1,\infty)$ 上的非负 Lebesgue 可积函数, 试证: (1) $\dps{\vsm{n}f(nx)}$ $\ae$ 收敛; (2) $\dps{\vlm{x}\f{1}{x}\int_1^x tf(t)\rd t=0}$. - [售价 5 角] zhangzujin 2018-6-20 06:48 0170 匿名 2019-3-11 08:58
[实变函数] (170723) 设 $A=\sed{\sex{1+\f{1}{n}}^n;n=1,2,\cdots}$, $B=\sed{0,\f{1}{n},\f{1}{n}+1;n=1,2,\cdots}$, 求 $\nb A$, $A'$, $\bar A$, $\nb B$, $B'$, $\bar B$. - [售价 5 角] zhangzujin 2018-1-3 12:41 0248 匿名 2019-3-11 08:58
[实变函数] (170724) 设 $\dps{f(x)=\seddm{ x^3\e^{-x},&x\in [0,1]\cap \bbQ\\ 1,&x\in [0,1]\bs \bbQ }}$, $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是否 Riemann 可积? 是否 Lebesgue 可积? (须说明理由), 若可积, 求出积分值. - [售价 5 角] zhangzujin 2018-1-3 19:31 0235 匿名 2019-3-11 08:58
[实变函数] (170811) [宁波大学2017复试] 证明 $\bbR$ 中的所有可测子集族 $\scrM$ 的基数为 $2^{\aleph}$, 其中 $\aleph$ 为连续基数. - [售价 5 角] zhangzujin 2018-3-24 21:14 0170 匿名 2019-3-11 08:58
[实变函数] (170812) [宁波大学2017复试] 计算下列极限 $\dps{\vlm{n} \int_{[0,\infty)} \f{\ln (x+n)}{n}\e^{-x}\cos x\rd x}$. - [售价 5 角] zhangzujin 2018-3-24 21:15 0206 匿名 2019-3-11 08:58
[实变函数] (170604) 设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数. - [售价 5 角] zhangzujin 2017-7-8 09:39 0175 匿名 2019-3-11 08:58
[实变函数] (170130) 试建立 $[0,1]$ 到 $(0,1)$ 之间的一一对应. - [售价 5 角] zhangzujin 2017-7-6 19:38 0117 匿名 2019-3-11 08:58
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