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数学分析 今日: 0|主题: 284|排名: 1 

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[积分] (170429) 设 $n\in\bbN^+$, 计算积分 $\dps{\int_0^{\pi/2} \frac{\sin nx}{\sin x}\rd x}.$ zhangzujin 2017-7-8 054 zhangzujin 2017-7-8 08:55
[积分] (170428) 设 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 定义 $\dps{F(x)=\int_a^b f(x+t)\cos t\rd t}$, $a\leq x\leq b$. (1) 证明: $F$ 在 $[a,b]$ 上可导; (2) 计算 $F''(x)$. zhangzujin 2017-7-8 055 zhangzujin 2017-7-8 08:55
[积分] (170427) 设 $f\in C^2[0,\pi]$, 且 $f(\pi)=2$, $\dps{\int_0^\pi [f(x)+f''(x)]\sin x\rd x=5}$. 求 $f(0)$. zhangzujin 2017-7-8 049 zhangzujin 2017-7-8 08:54
[积分] (170426) 设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续非负函数, 找出满足条件 $$\bex \int_0^1 f(x)\rd x=1,\quad \int_0^1 xf(x)\rd x=a,\quad \int_0^1 x^2f(x)\rd x=a^2 \eex$$ 的所有 $f$, 其中 $a$ 为给定实数. zhangzujin 2017-7-8 051 zhangzujin 2017-7-8 08:53
[积分] (170424) 设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续正函数, 且 $\dps{f^2(t)\leq 1+2\int_0^t f(s)\rd s}$. 证明: $f(t)\leq 1+t$. zhangzujin 2017-7-8 060 zhangzujin 2017-7-8 08:52
[积分] (170423) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且满足条件 $\dps{f(1)=3\int_0^{1/3} \e^{x-1}f(x)\rd x}$, 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f(\xi)+f'(\xi)=0$. zhangzujin 2017-7-8 052 zhangzujin 2017-7-8 08:51
[积分] (170422) 已知函数 $f(x)=\ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$. zhangzujin 2017-7-8 077 zhangzujin 2017-7-8 08:49
[极限] (170419) 设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的增函数. 再设 $x_0\in [a,b)$, 而点列 $\sed{x_n}$ 满足: $x_n>x_0$, $\dps{\vlm{n}x_n=x_0}$. 求证: $\dps{\vlm{n}f(x_n)}$ 存在. zhangzujin 2017-7-8 049 zhangzujin 2017-7-8 08:47
[积分] (170403) 试求 \[\iint_{x^2+y^2\leq R^2}\e^x\cos y\rd x\rd y.\] zhangzujin 2017-7-7 059 zhangzujin 2017-7-7 19:30
[微分] (170402) [北京大学数学系数学分析习题集05-09] 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上 $n$ 次可微, 且 $$\bex |f(x)|\leq M_0,\quad |f^{(n)}(x)|\leq M_n,\quad (M_0,M_n\mbox{ 为常数}). \eex$$ 求证: .. zhangzujin 2017-7-7 058 zhangzujin 2017-7-7 19:29
[积分] (170327) 设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的连续可微函数, 满足 $f(0)=f(1)=0$. 试证: $$\bex \sez{\int_0^1 f(x)\rd x}^2\leq \f{1}{12}\int_0^1 |f'(x)|^2\rd x, \eex$$ 且等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x)$, 其中 $A$ 是... zhangzujin 2017-7-7 048 zhangzujin 2017-7-7 17:19
[微分] (170311) 试证: $$\bex \arctan a-\arctan b>\f{a-b}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}},\quad \forall\ a>b>0. \eex$$ zhangzujin 2017-7-7 084 zhangzujin 2017-7-7 16:53
[微分] (170220) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上二阶连续可微, 满足 $$\bex |f(x)|\leq A,\quad |f''(x)|\leq B,\quad \forall\ x\in [a,b], \eex$$ 并且 $$\bex \exists\ x_0\in [a,b],\st |f'(x_0)|\leq D. \eex$$ 试证: $$\bex |f'(x)|\leq 2\sqrt{AB}+D...\eex$$ zhangzujin 2017-7-6 082 zhangzujin 2017-7-6 22:10
[微分] (170219) [导数介值定理] 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, 实数 $k$ 满足 $f'(a)<k<f'(b)$. 试证: $$\bex \exists\ \xi\in(a,b),\st f'(\xi)=k. \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 054 zhangzujin 2017-7-6 22:09
[极限] (170215) 求极限 $\dps{\vlm{n}\sin (\pi\sqrt{n^2+1})}$. zhangzujin 2017-7-6 073 zhangzujin 2017-7-6 22:05
[极限] (170214) 设常数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足 $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$. 求证: $$\bex \vlmp{x}\sum_{k=1}^na_k\sin\sqrt{x+k}=0. \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 071 zhangzujin 2017-7-6 22:04
[极限] (170213) 求极限 $\dps{\vlm{n}n\sin (2\pi n!\e)}$. zhangzujin 2017-7-6 056 zhangzujin 2017-7-6 22:03
[实数理论] (170212) 设 $a_1\leq a_2\leq \cdots \leq a_n$, 且 $b_1\leq b_2\leq \cdots\leq b_n$. 证明 Chebych\"ev (切比雪夫, 1821\~1894) 不等式: $$\bex \sum_{i=1}^n a_i \sum_{i=1}^n b_i\leq n\sum_{i=1}^n a_ib_i. \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 064 zhangzujin 2017-7-6 22:02
[实数理论] (170211) 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n\ (n\geq 2)$ 都是正数, 且 $a_1+a_2+\cdots+a_n<1$. 证明: (1) $\dps{\f{1}{1-\sum_{k=1}^n a_k} >\prod_{k=1}^n (1+a_k)>1+\sum_{k=1}^n a_k}$; (2) ... zhangzujin 2017-7-6 065 zhangzujin 2017-7-6 21:59
[积分] (170210) 对任意的 $a>0$, 试证: $$\bex \vsm{k}\f{1}{k+a} \sqrt{\f{a}{k}}<\pi. \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 049 zhangzujin 2017-7-6 21:57
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