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[极限] (190721) [谢惠民等3.7.3:2-7] 设 $y_n=px_n+qx_{n+1}$, $n\in\bbN_+$, 其中 $|p|<|q|$. 证明: 若 $\sed{y_n}$ 收敛, 则 $\sed{x_n}$ 也收敛. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:43
[极限] (190720) [谢惠民等3.7.3:2-6] (1) 设 $\sed{x_n}$ 为正数列, 且 $\dps{\vli{n}x_n=0}$. 证明: 存在无限多个 $n$, 使得 $x_n<x_k,\ k=1,2,\cdots, n-1$. (2) 设 $\sed{x_n}$ 为正数列, 且有正下界. 证明: $\dps{\... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:41
[极限] (190719) [谢惠民等3.7.3:2-5] 若对每个数列 $\sed{y_n}$, 成立 $\dps{\vls{n}(x_n+y_n)=\vls{n}x_n+\vls{n}y_n}$, 证明数列 $\sed{x_n}$ 收敛. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:41
[极限] (190718) [谢惠民等3.7.3:2-4] 试用压缩映射原理证明数列 $\sqrt{7}$, $\sqrt{7-\sqrt{7}}$, $\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7}}}$, $\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}}$, $\cdots$ 收敛, 并计算其极限. (即用压缩映射原理重做第二章的第二组参考题 16.) - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:40
[极限] (190717) [谢惠民等3.7.3:2-3] 证明: 将实数 $\bbR$ 分成两个非空集合 $A$ 和 $B$, 则或者 $A$ 中有数列收敛于 $B$ 中的点, 或者 $B$ 中有数列收敛于 $A$ 中的点. (这个结论称为实数的连通性, 它与实数系的每一个基本定理等价.) - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 03 zhangzujin 2019-4-17 12:40
[极限] (190716) [谢惠民等3.7.3:2-2] 设有两个非空实数集 $A$ 和 $B$, 满足条件: (1) $\bbR=A\cup B$; (2) 在 $A$ 中的每一个数都小于 $B$ 中的每一个数. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-17 02 zhangzujin 2019-4-17 12:39
[极限] (190715) [谢惠民等3.7.3:2-1] 证明: 对于 $\bbR$ 中的任何两个正数 $a,b$, 如有 $0<a<b$, 则存在一个自然数 $n$, 使得 $na>b$. (这个结论称为 Archimedes 公理或原理). - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-17 03 zhangzujin 2019-4-17 12:39
[极限] (190714) [谢惠民等3.7.3:1-10] 设 $\sed{x_n}$ 为正数列, 证明: $\dps{\vls{n}\sex{\f{x_1+x_{n+1}}{x_n}}^n\geq \e}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:38
[极限] (190713) [谢惠民等3.7.3:1-9] 设 $\sed{x_n}$ 为正数列, 证明: $\dps{\vls{n}n \sex{\f{1+x_{n+1}}{x_n}-1}\geq 1}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 03 zhangzujin 2019-4-17 12:37
[极限] (190712) [谢惠民等3.7.3:1-8] 若对于数列 $\sed{a_n}$ 的每个子列 $\sed{a_{n_k}}$ 都有 $\dps{\vlm{k}\f{a_{n_1}+a_{n_2}+\cdots+a_{n_k}}{k}=a}$, 证明: $\dps{\vlm{k}a_n=a}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:36
[极限] (190711) [谢惠民等3.7.3:1-7] 设 $\sed{x_n}$ 为正数列. 用上下极限证明: 若 $\dps{\vlm{n}\f{x_{n+1}}{x_n}=l}$, 则 $\dps{\vlm{n}\sqrt[n]{x_n}=1}$. zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:36
[极限] (190710) [谢惠民等3.7.3:1-6] 设 $\sed{x_n},\ \sed{y_n}$ 是正数列. 在以下乘积均有意义时证明: $$\hj{ \vli{n}x_n \vli{n}y_n\leq \vli{n}(x_ny_n)\leq \vli{n}x_n\vls{n}y_n \leq \vls{n}(x_ny_n) \leq \vls{n}x_n \vls{n}y_n. }$$ zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:35
[极限] (190709) [谢惠民等3.7.3:1-5] 试用上下极限的工具证明第二章 2.4.1 中的 Stolz 定理. (参考 3.6.4 小节的题 3.) - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:34
[极限] (190708) [谢惠民等3.7.3:1-4] 设函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上定义, 对区间 $(a,b)$ 的每一个点 $\xi$, 存在 $\del>0$, 当 $x\in (\xi-\del,\xi+\del)\cap (a,b)$ 时, 如 $x<\xi$, 则 $f(x)<f(\xi)$, 如 $x>\xi$, ... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 12 zhangzujin 2019-4-17 12:33
[极限] (190707) [谢惠民等3.7.3:1-3] 证明: 在有界闭区间上的无界函数一定在这个区间的某一点的每一个邻域中无界. 又问: 在开区间上的无界函数是否有于此类似的性质? - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:32
[极限] (190706) [谢惠民等3.7.3:1-2] 证明: 数列收敛的充分必要条件是存在一个数 $a$, 使数列的每个子列有收敛于 $a$ 的子列. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:31
[极限] (190705) [谢惠民等3.7.3:1-1] 证明: 数列有界的充分必要条件是它的每个子列都收收敛子列. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 09 zhangzujin 2019-4-17 12:31
[微分] (190704) 设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续, 在 $(-1,1)$ 内三阶可导. 证明: 存在 $\xi\in (-1,1)$, 使得 $$\bex f(1)=f(-1)+2f'(0)+\f{f'''(\xi)}{3}+8\xi. \eex$$ - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 07 zhangzujin 2019-4-17 11:03
[极限] (190701) [谢惠民等2.7.3:2-20] 给定 $x_1,\cdots,x_n$, ... 归纳定义 $\dps{x_i^{(k)} =\f{x_i^{(k-1)}+x_{i+1}^{(k-1)}}{2},\ i=1,\cdots,n}$ ... 证明 $\dps{\vlm{k}x_i^{(k)}=\f{x_1+\cdots+x_n}{n}}$. - [售价 49 角] zhangzujin 2019-4-17 17 zhangzujin 2019-4-17 08:36
[极限] (190630) [谢惠民等2.7.3:2-19] 设参数 $b>0$, $\dps{x_1=\f{1}{2}}$, $x_{n+1}=bx_n(1-x_n)$, $n\in\bbN_+$. 证明以下结论 (对于情况 $b>4$ 的讨论即是 2.6.3 小节中的题 3): ... - [售价 29 角] zhangzujin 2019-4-17 17 zhangzujin 2019-4-17 08:34
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