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数学分析 今日: 0|主题: 284|排名: 1 

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[积分] (170710) 设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的可微凹函数, $f(a)=f(b)=0$, $f'(a)=\al>0$, $f'(b)=\be<0$. 试证: $$\bex 0\leq \int_a^b f(x)\rd x\leq \f{1}{2}\al \be \f{(b-a)^2}{\be-\al}. \eex$$ zhangzujin 2017-10-20 0201 zhangzujin 2017-10-20 09:56
[积分] (170709) [扬州大学2017数分] 设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续可导, $f(0)=f(1)=0$, 求证: $$\bex \sez{\int_0^1 xf(x)\rd x}^2\leq \f{1}{45} \int_0^1 [f'(x)]^2\rd x, \eex$$ 等号成立当且仅当 $f(x)=A(x-x^3)$ 时成立, 其中 $A$ 为常数. zhangzujin 2017-10-14 0191 zhangzujin 2017-10-14 09:58
[积分] (170707) [(170705) 的另外解法: 通过 Stokes 公式, 另外一张曲面] zhangzujin 2017-9-27 0233 zhangzujin 2017-9-27 12:51
[积分] (170706) [(170705) 的另外解法: 通过 Stokes 公式] zhangzujin 2017-9-26 0144 zhangzujin 2017-9-26 21:16
[积分] (170705) [天津大学1979数分] 计算 $$\bex \oint_L x^2yz\rd x +(x^2+y^2)\rd y+(x+y+1)\rd z, \eex$$ 其中 $L$ 为曲面 $x^2+y^2+z^2=5$ 和 $z=x^2+y^2+1$ 的交线, 从 $z$ 轴正向看 $L$ 是逆时针方向. zhangzujin 2017-9-26 0214 zhangzujin 2017-9-26 20:18
[极限] (170704) [武汉大学2017数分] 求 $\dps{\vlm{n}\sum_{k=1}^n \sex{\e^\f{k^2}{n^3}-1}}$. zhangzujin 2017-8-29 0453 zhangzujin 2017-8-29 16:53
[极限] (170703) [南京大学数分] 设 $\sed{a_n}$ 为数列, $\dps{S_n=\sum_{k=1}^n a_k}$ 为部分和. (1). 当 $\dps{\vlm{n}a_n=0}$ 时, 证明 $\dps{\vlm{n}\f{S_n}{n}=0}$. (2). 设 $\sed{S_n}$ 有界, ... zhangzujin 2017-8-11 0288 zhangzujin 2017-8-11 11:17
[积分] (170702) [南京大学2013数分] 在 $\bbR^4$ 中定义如下有界区域 $\Om$: $$\bex \Om=\sed{(x,y,z,w)\in\bbR^4;\ |x|+|y|+\sqrt{z^2+w^2}\leq 1}. \eex$$ 计算 $\Om$ 的体积. zhangzujin 2017-8-9 0229 zhangzujin 2017-8-9 17:25
[极限] (170701) [南开大学2017数分] 设 $\dps{x_n=\sum_{k=1}^n \f{k\sin^2k}{n^2+k\sin^2k}}$ ($n=1,2,\cdots$). 求证: 数列 $\sed{x_n}$ 收敛. zhangzujin 2017-8-1 0609 zhangzujin 2017-8-1 21:04
[积分] (170623) 设立体 $\vSa$ 由 $x^2+y^2=2z$ 与 $z=4-\sqrt{x^2+y^2}$ 围成, 求 $\vSa$ 的体积与表面积. zhangzujin 2017-7-8 093 zhangzujin 2017-7-8 09:56
[极限] (170622) 无穷多个无穷小量相乘还是无穷小量么? zhangzujin 2017-7-8 088 zhangzujin 2017-7-8 09:55
[极限] (170621) 试求 $$\bex \vlm{n}n^2\sex{x^\frac{1}{n}-x^\frac{1}{n+1}},\quad x>0. \eex$$ zhangzujin 2017-7-8 099 zhangzujin 2017-7-8 09:54
[微分] (170618) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且 $f'(a)=f'(b)$, 试证: $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st f'(\xi)(\xi-a)=f(\xi)-f(a). \eex$$ zhangzujin 2017-7-8 0101 zhangzujin 2017-7-8 09:52
[微分] (170616) 设 $f\in C^{n+1}(\bbR)$, 试证: 对 $\forall\ a\in\bbR$, $$\bex \frac{\rd^n}{\rd x^n}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=\frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. \eex$$ zhangzujin 2017-7-8 088 zhangzujin 2017-7-8 09:51
[积分] (170615) 若函数 $p(t)$ 在 $[0,\infty)$ 连续, 且当 $t\to+\infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $\lm<0$, 证明: 当 $t\to\infty$ 时, $$\bex \int_t^\infty p(\tau)e^{\lm \tau}\rd \tau=o(t^{N+1})e^{\lm t}. \eex$$ (北京师范大学) zhangzujin 2017-7-8 0117 zhangzujin 2017-7-8 09:50
[函数] (170614) [南京大学2013数分] 设 $f$ 是 $\bbR$ 上周期为 $1$ 的 $C^1$ 函数. 如果 $f$ 满足以下条件: $$\bex f(x)+f\sex{x+\f{1}{2}}=f(2x),\quad \forall\ x\in\bbR. \eex$$ 证明: $f$ 恒等于零. zhangzujin 2017-7-8 0153 zhangzujin 2017-7-8 09:49
[实数理论] (170613) 试证: $$\bex g(n,i)\equiv \sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k k^i=\seddm{ 0,&0\leq i\leq n-1\\ (-1)^n n!,&i=n },\ n=1,2,\cdots. \eex$$ zhangzujin 2017-7-8 0115 zhangzujin 2017-7-8 09:47
[微分] (170612) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(a)<f(b)$, 又设对一切 $x\in (a,b)$, $\dps{\vlmc{t}{0}\f{f(x+t)-f(x-t)}{t}}$ 存在, 用 $g(x)$ 表示这一极限值. 试证: 存在 $c\in (a,b)$, 使得 $g(c)\geq 0$. (南开... zhangzujin 2017-7-8 098 zhangzujin 2017-7-8 09:46
[微分] (170611) 试证: $$\bex (1+a)\ln (1+a)+(1+b)\ln (1+b)<(1+a+b)\ln (1+a+b),\quad \forall\ a,b>0. \eex$$ zhangzujin 2017-7-8 069 zhangzujin 2017-7-8 09:45
[微分] (170610) 设 $f$ 在 $[0,c]$ 上连续, $f(0)=0$, 且当 $x\in (0,c)$ 时, $f''(x)<0$. 试证: 当 $0<a<b<a+b<c$ 时, $$\bex f(a+b)<f(a)+f(b). \eex$$ zhangzujin 2017-7-8 068 zhangzujin 2017-7-8 09:45
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