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数学分析 今日: 0|主题: 792|排名: 1 

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[微分] (190809) 已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上三阶可导, 且 $f(0)=-1$, $f(1)=0$, $f'(0)=0$, 试证至少存在一点 $\xi \in (0,1)$, 使 $$\bex f(x)=-1+x^2+\f{x^2(x-1)}{3!}f'''(\xi),\ x\in (0,1). \eex$$ - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 010 zhangzujin 2019-4-17 15:17
[极限] (190808) [谢惠民等4.5.2:15] 设成立 $\dps{\vlmc{x}{0}f(x)=0}$, $\dps{f(x)-f\sex{\f{x}{2}}=o(x)\ (x\to 0)}$. 证明: $f(x)=o(x)\ (x\to 0)$. (本题比 4.4.4 小节的练习题 2 要难一点.) - [售价 8 角] zhangzujin 2019-4-17 03 zhangzujin 2019-4-17 15:17
[极限] (190807) [谢惠民等4.5.2:14] 设 $T$ 为正常数, 若函数 $f,g$ 在 $[a,+\infty)$ 上满足条件: (1) $g(x+T)>g(x), \ x\in [a,+\infty)$; (2) $\dps{\vlmp{x}g(x)=+\infty}$, $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 的每个有... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 15 zhangzujin 2019-4-17 15:16
[极限] (190806) [谢惠民等4.5.2:13] 设 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上定义, 且在其中的每个上有界子区间上有界. 证明等式 $\dps{\vlmp{x}\f{f(x)}{x^{n+1}} =\f{1}{n+1}\vlmp{x}\f{f(x+1)-f(x)}{x^n}}$ 在右边为有限极限或 $\pm\infty$ 时成立. - [售价 3 角] zhangzujin 2019-4-17 05 zhangzujin 2019-4-17 15:15
[极限] (190805) [谢惠民等4.5.2:12] 设 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上定义, 且在其中的每个上有界子区间上有界. 证明等式 $$\bex \vlmp{x}\f{f(x)}{x} =\vlmp{x}[f(x+1)-f(x)] \eex$$ 在右边为有限极限或 $\pm\infty$ 时成立. zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 15:14
[极限] (190804) [谢惠民等4.5.2:11] 设函数 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加, 且有 $\dps{\vlmp{x}\f{f(2x)}{x}=1}$. 证明: 对每个 $a>0$, 成立 $\dps{\vlmp{x}\f{f(ax)}{f(x)}=1}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 02 zhangzujin 2019-4-17 15:12
[极限] (190804) [谢惠民等4.5.2:11] 设函数 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加, 且有 $\dps{\vlmp{x}\f{f(2x)}{x}=1}$. 证明: 对每个 $a>0$, 成立 $\dps{\vlmp{x}\f{f(ax)}{f(x)}=1}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 00 zhangzujin 2019-4-17 15:12
[极限] (190803) [谢惠民等4.5.2:10] 设函数 $f$ 在 $\bbR$ 上定义, 在 $x=0$ 邻近有界, 又有 $a>1$, $b>1$, 使得对每个 $x\in\bbR$ 成立 $f(ax)=bf(x)$. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-4-17 03 zhangzujin 2019-4-17 15:11
[极限] (190802) [谢惠民等4.5.2:9] (1) 设函数 $f$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上满足要求 $f(2x)=f(x)$, 且存在有限极限 $f(+\infty)$. 证明: $f$ 是常值函数. ... - [售价 8 角] zhangzujin 2019-4-17 12 zhangzujin 2019-4-17 15:10
[极限] (190801) [谢惠民等4.5.2:8] 证明 Dirichlet 函数 (4.1.5 小节第 4 题) 有以下解析表达式: $\dps{D(x)=\vlm{m}\sed{\vlm{n}[\cos(\pi m!x)]^{2n}}}$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-17 02 zhangzujin 2019-4-17 15:06
[极限] (190731) [谢惠民等4.5.2:7] 对一般的自然数 $n$ 计算极限 $\dps{\vlmc{x}{0}\f{\sin nx-n\sin x}{x^3}}$. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-4-17 02 zhangzujin 2019-4-17 15:05
[极限] (190730) [谢惠民等4.5.2:6] (1) 设函数 $f(x)=a_1\sin x+a_2\sin 2x+\cdots+a_n\sin nx$, 且对所有 $x$ 成立 $|f(x)|\leq |\sin x|$. 证明: $|a_1+2a_2+\cdots+na_n|\leq 1$. ... - [售价 8 角] zhangzujin 2019-4-17 13 zhangzujin 2019-4-17 15:03
[极限] (190729) [谢惠民等4.5.2:5] 求 $\dps{\vlmp{x}\sex{\f{1}{x}\cdot\f{a^x-1}{a-1}}^\f{1}{x}}$, 其中 $a>0$, $a\neq 1$. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 15:02
[极限] (190728) [谢惠民等4.5.2:4] 证明 $\sin\sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x}$ 当 $x\to+\infty$ 时极限为 $0$, 并分析其阶数. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 02 zhangzujin 2019-4-17 15:01
[极限] (190727) [谢惠民等4.5.2:3] 在 Heine 归结原理 (命题 4.2.3) 的条件中, (1) 若将 ``每个数列 $\sed{x_n}$'' 改为 ``每个单调数列 $\sed{x_n}$, 其他要求不变, 则结论是否仍然成立? ... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 11 zhangzujin 2019-4-17 15:01
[极限] (190726) [谢惠民等4.5.2:2] 设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上严格单调增加, 且有一个在区间 $[a,b]$ 内的数列 $\sed{x_n}$ 使得 $f(x_n)\to f(a)$. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 15:00
[极限] (190725) [谢惠民等4.5.2:1] 若函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上单调, 且有一个数列 $\sed{x_n}$ 使得 $x_n\to a^+$ 和 $\dps{\vlm{n}f(x_n)=A}$. 请按照单侧极限的定义直接证明: $\dps{\vlmc{x}{a^+}f(x)=A}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 14:59
[极限] (190724) [谢惠民等3.7.3:2-10] 设 $\sed{x_n}$ 有界, 且 $\dps{\vlm{n}(x_{n+1}-x_n)=0}$. 将 $\sed{x_n}$ 的下极限和上极限分别记为 $l$ 和 $L$. 证明: 在区间 $[l,L]$ 中的每一个点都是数列 $\sed{x_n}$ 的极... - [售价 29 角] zhangzujin 2019-4-17 15 zhangzujin 2019-4-17 12:46
[极限] (190723) [谢惠民等3.7.3:2-9] 设 $x_n=\sin n$, $n\in\bbN_+$, 证明数列 $\sed{x_n}$ 的极限点集合为 $[-1,1]$. - [售价 19 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 12:45
[极限] (190722) [谢惠民等3.7.3:2-8] 设 $\sed{x_n}$ 有界, 且 $\dps{\vlm{n}(x_{2n}+2x_n)=A}$. 证明 $\sed{x_n}$ 收敛, 并求其极限. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 05 zhangzujin 2019-4-17 12:45
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