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数学分析 今日: 0|主题: 284|排名: 1 

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[极限] (170822) [cmc09] 设 $f(x)=1-x^2+x^3\ (x\in [0,1])$, 计算以下极限并说明理由 $\dps{ \vlm{n} \f{\int_0^1 f^n(x)\ln(x+2)\rd x}{\int_0^1 f^n(x)\rd x}. }$ - [售价 3 元] zhangzujin 2018-4-27 080 zhangzujin 2018-4-27 21:04
[极限] (170821) [cmc09] 设 $f(x)=\arctan x$, $A$ 为常数. 若 $\dps{ B=\vlm{n} \sez{\sum_{k=1}^nf\sex{\f{k}{n}}-An} }$ 存在, 求 $A,B$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-4-27 061 zhangzujin 2018-4-27 21:03
[级数] (170820) [cmc09] 设 $\sed{a_n}$ 是递增数列, $a_1>1$. 求证: 级数 $\dps{\vsm{n} \f{a_{n+1}-a_n}{a_n\ln a_{n+1}}}$ 收敛的充分必要条件是 $\sed{a_n}$ 有界. 又问级数通项分母中的 $a_n$ 能否换成 $a_{n+1}$? - [售价 3 元] zhangzujin 2018-4-27 057 zhangzujin 2018-4-27 21:02
[积分] (170816) 设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 满足 $\dps{1=\int_0^1 f(x)\rd x=\int_0^1 xf(x)\rd x}$. 试证: $\dps{\int_0^1 [f(x)]^2\rd x\geq 4}$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-4-27 077 zhangzujin 2018-4-27 11:54
[级数] (170815) 试求无穷乘积 $\dps{\prod_{n=2}^\infty \sex{1-\f{2}{1+n^3}}}$. - [售价 1 元] zhangzujin 2018-4-27 055 zhangzujin 2018-4-27 11:54
[极限] (170814) 设 $f:[0,\infty)\to\bbR$ 是连续函数, 且 $\dps{\vlmp{x}f(x)=L}$ 存在. 这里 $L$ 是有限数, $+\infty$ 或 $-\infty$. 试证: $\dps{\vlm{n}\int_0^1 f(nx)\rd x=L}$. - [售价 1 元] zhangzujin 2018-4-27 060 zhangzujin 2018-4-27 11:53
[微分] (170813) [浙江大学2018数分] 设 $f:\bbR\to (0,\infty)$ 是可微函数, 且存在 $L>0$, 使得 $|f'(x)-f'(y)|\leq L|x-y|,\ \forall\ x,y\in\bbR$. 试证: $[f'(x)]^2<2L f(x),\ \forall\ x\in\bbR$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-4-27 092 zhangzujin 2018-4-27 11:50
[极限] (170809) 给定正数列 $\sed{a_n}$, 证明 $$\bex \vls{n} \sex{\f{a_1+a_{n+1}}{a_n}}^n \geq \e.\qwz{国外赛题} \eex$$ - [售价 5 元] zhangzujin 2018-3-15 0107 zhangzujin 2018-3-15 21:49
[极限] (170808) 证明: 若 $\dps{\vls{n}c_n\leq c}$, 则 $$\bex \vls{n}\f{c_n}{1+|c_n|}\leq \f{c}{1+|c|}. \eex$$ - [售价 5 元] zhangzujin 2018-3-15 0110 zhangzujin 2018-3-15 21:48
[极限] (170807) 试证: 若 $\dps{\vls{n}\sqrt[n]{|a_n|}=A}$, 则对任意固定的整数 $n_0$ 都有 $$\bex \vls{n}\sqrt[n]{|a_{n_0+n}|}=a.\qwz{北京理工大学} \eex$$ - [售价 5 元] zhangzujin 2018-3-15 088 zhangzujin 2018-3-15 21:46
[极限] (170806) (1) ... (2) 试证: $\dps{\vlm{n} \e^\f{n}{4} n^{-\f{n+1}{2}} \sex{1^1\cdot 2^2\cdots n^n}^\f{1}{n}=1}$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-3-15 077 zhangzujin 2018-3-15 21:43
[极限] (170805) 试证: $\dps{\vlm{n}\sez{\sex{\f{1}{n}}^n +\sex{\f{2}{n}}^n+\cdots+\sex{\f{n}{n}}^n}=\f{\e}{\e-1}}$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-3-14 0105 zhangzujin 2018-3-14 11:05
[极限] (170804) 试证: (1) $\dps{\vlm{n}\sin (2n!\e \pi)=0}$; (2) $\dps{\vlm{n}n\sin (2n!\e \pi)=2\pi}$; (3) $\dps{\vlm{n}n^2[n\sin (2n!\e \pi)-2\pi]=-\f{2\pi(2\pi^2+3)}{3}}$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-3-14 090 zhangzujin 2018-3-14 10:41
[微分] (170803) [华中师大17数分设二元函数 $z(x,y)$ 在上半平面$D=\sed{(x,y);y>0}$ 内具有具有连续偏导数,且满足方程 $$ \f{\p^2z}{\p x^2}-y\f{\p^2z}{\p y^2}-\f{1}{2}\f{\p z}{\p y}=0. $$... zhangzujin 2018-1-8 0117 zhangzujin 2018-1-8 19:44
[级数] (170802) [华中师大17数分] 利用 Parseval 等式证明: 如果 $[-\pi,\pi]$ 上的连续函数 $f$ 和三角函数系 $$\bex \sed{1,\cos x,\sin x,\cdots, \cos nx, \sin nx,\cdots} \eex$$ 中每个函数正交, 那么必有 $f(x)=0$. zhangzujin 2018-1-8 0109 zhangzujin 2018-1-8 19:43
[微分] (170721) [Erdos 对均值不等式的简单证明] 设 $a_i>0\ (i=1,\cdots,n)$, 则 $$\bex \f{a_1+\cdots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}. \eex$$ zhangzujin 2017-12-16 0110 zhangzujin 2017-12-16 09:34
[积分] (170720) [华中科技大学2011数分] 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续可微, 证明: $$\bex |f'(0)|\leq 9\int_0^1 |f(x)|\rd x+\int_0^1 |f''(x)|\rd x. \eex$$ zhangzujin 2017-12-13 0126 zhangzujin 2017-12-13 17:46
[级数] (170719) [华中科技大学2011数分] 设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2\pi]$ 上可积, 证明 $$\bex \f{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x)(\pi-x)\rd x =\vsm{n}\f{b_n}{n}, \eex$$ ... zhangzujin 2017-12-13 0112 zhangzujin 2017-12-13 17:45
[积分] (170712) [中南大学2016数分] 已知球缺高为 $h$, 所在球半径为 $R$ 的球缺体积为 $\dps{\f{\pi}{3}(3R-h)h^2}$. 现有一球体: $$\bex (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\leq 12 \eex$$ 被平面 $x+y+z=1$ 所截下的小球缺为 $... zhangzujin 2017-11-8 0151 zhangzujin 2017-11-8 20:45
[积分] (170711) 试求 $$\bex I=\int_2^4\frac{\sqrt{\ln (9-x)}}{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(x+3)}}\rd x. \eex$$ zhangzujin 2017-11-8 0343 zhangzujin 2017-11-8 20:42
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