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[积分] (191008) [华中科技大学2003年数学分析考研试题5] 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上两次连续可微, $\dps{c=\frac{a+b}{2}}$. 证明: $$\bex \int_a^b f(x)\rd x=(b-a) f(c)+\frac{1}{2}\int_c^b (b-x)^2f''(x)\rd x +\frac{1}{2}\int_a^c (x-a)^2f''(x)\rd x. \eex$$ - [售价 6 角] zhangzujin 2019-5-15 05 zhangzujin 2019-5-15 08:34
[微分] (191007) [华中科技大学2003年数学分析考研试题4] 设 $a,b>0$, 证明不等式: $$\bex \frac{a^3}{x^2}+\frac{b^3}{(1-x)^2}\geq (a+b)^3,\quad (0<x<1). \eex$$ - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-15 07 zhangzujin 2019-5-15 08:34
[微分] (191006) [华中科技大学2003年数学分析考研试题3] 设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, $g(x)>0$, $g(x)$ 在 $(a,b)$ 内可微且 $g'(x)\neq 0$. 证明存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex g'(\xi)\int_a^b f(x)\rd x =f(\xi)g(\xi)\ln\frac{g(b)}{g(a)}. \eex$$ - [售价 5 角] zhangzujin 2019-5-15 06 zhangzujin 2019-5-15 08:33
[微分] (191005) [华中科技大学2003年数学分析考研试题2] 设 $u(x,y)$ 是二次连续可微函数, 用极坐标代换 $x=r\cos\theta,y=r\sin \theta$ 变换式子 $\lap u=u_{xx}+u_{yy}$. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-5-15 05 zhangzujin 2019-5-15 08:32
[极限] (191004) [华中科技大学2003年数学分析考研试题1] 求极限 $\dps{l=\lim_{m,n\to \infty}\frac{\sex{1+\frac{1}{n}}^{n\sin\frac{1}{m}}-\sex{1+\frac{1}{n}}^{n\ln\sex{1+\frac{1}{m}}}}{1-\cos\frac{1}{m}}}$. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-5-15 012 zhangzujin 2019-5-15 08:31
[微分] (191003) [谢惠民等20.5.2:1-8] ... $$\hj{ \f{\p f}{\p x}\f{\p g}{\p y} -\f{\p f}{\p y}\f{\p g}{\p x}\neq 0. }$$ 又设有界闭区域 $D\subset G$. 证明: 在 $D$ 内满足方程组 $$\hj{ f(x,y)=0,\quad g(x,y)=0 }$$ 的点至多有有限个. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-13 124 zhangzujin 2019-5-13 08:34
[积分] (191002) 设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二阶导数连续, 证明: $$\hj{ \int_{-1}^1 xf(x)\rd x =\f{2}{3}f'(\xi)+\f{1}{3}\xi f''(\xi). }$$ - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-10 08 zhangzujin 2019-5-10 11:48
[积分] (191001) 证明对任意连续函数 $f(x)$, 有 $$\hj{ \max\sed{ \int_{-1}^1 |x-\sin^2x-f(x)|\rd x, \int_{-1}^1 |\cos^2x-f(x)|\rd x }\geq 1. }$$ - [售价 6 角] zhangzujin 2019-5-10 04 zhangzujin 2019-5-10 11:47
[积分] (190930) 计算 $\int_0^\f{\pi} {2}\f{1}{1+\tan^{2015}x}\rd x$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-5-10 05 zhangzujin 2019-5-10 11:46
[积分] (190929) 计算 $\int\f{\sin x}{3\cos x+4\sin x}\rd x$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-5-10 04 zhangzujin 2019-5-10 11:44
[级数] (190928) 判别级数 $\vsm{n} \f{1}{\sqrt[n]{(n!)^\al}}$ 的敛散性, 其中 $\al>0$ 为常数. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-5-9 05 zhangzujin 2019-5-9 20:47
[积分] (190927) 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 证明: $$\hj{ \sez{\int_0^1 \f{f(x)}{t^2+x^2}\rd x}^2 \leq \f{\pi}{2t} \int_0^1 \f{f^2(x)}{t^2+x^2}\rd x, (t>0). }$$ - [售价 6 角] zhangzujin 2019-5-9 07 zhangzujin 2019-5-9 20:46
[微分] (190926) 设 $\varphi(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, 且 $\varphi(0)=0, \varphi(1)=1$. 证明: 对任意正数 $a,b$, 必存在 $(0,1)$ 内的两个数 $\xi$ 与 $\eta$, 使 $$\hj{ \f{a}{\varphi'(\xi)} +\f{b}{\varphi'(\eta)}=a+b. }$$ - [售价 6 角] zhangzujin 2019-5-9 04 zhangzujin 2019-5-9 20:25
[积分] (190925) 求积分 $\int_\f{1}{2}^2 \sex{1+x-\f{1}{x}}\e^{x+\f{1}{x}}\rd x$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-5-9 04 zhangzujin 2019-5-9 09:55
[级数] (190924) 设 $S_n=\sum_{k=1}^n \arctan \f{1}{2k^2}$, 求 $\vlm{n}S_n$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-5-9 03 zhangzujin 2019-5-9 09:54
[微分] (190923) 设 $f(x)$ 连续, 且当 $x>-1$ 时, $f(x)\sez{\int_0^x f(t)\rd t+1}=\f{x\e^x}{2(1+x)^2}$, 求 $f(x)$. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-5-9 05 zhangzujin 2019-5-9 06:53
[级数] (190922) 如果两个通项递减的正项级数 $\vsm{n}a_n$ 和 $\vsm{n}b_n$ 都发散, 问: $\vsm{n}\min\sed{a_n,b_n}$ 是否可能收敛? - [售价 8 角] zhangzujin 2019-5-9 07 zhangzujin 2019-5-9 06:52
[连续] (190921) [谢惠民等5.7.2:2-20] 设 $f$ 是将区间 $[a,b]$ 映入自身的连续映射. 从 $[a,b]$ 内任一点 $x$ 出发, 用 $x_1=x, x_{n+1}=f(x_n)\ (n\in\bbN_+)$ 生成迭代数列 $\sed{x_n}$. 证明: $\sed{x_n}$ 收敛的充分必要条件是 $\dps{\vlm{n}(x_{n+1}-x_n)=0}$. - [售价 49 角] zhangzujin 2019-5-7 07 zhangzujin 2019-5-7 12:34
[连续] (190920) [谢惠民等5.7.2:2-19] 设 $f\in C(0,+\infty)$, 对每个 $x_0>0$, 有 $\dps{\vlm{n}f(nx_0)=0}$. 证明: $\dps{\vlmp{x}f(x)=0}$. - [售价 49 角] zhangzujin 2019-5-7 02 zhangzujin 2019-5-7 12:32
[连续] (190919) [谢惠民等5.7.2:2-18] ... 证明: 任何函数的严格极大值点 (严格极小值点) 至多可列, 并举出同时有可列个严格极大值点和严格极小值点的例子. ... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-7 114 zhangzujin 2019-5-7 12:31
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