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数学分析 今日: 0|主题: 284|排名: 1 

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[积分] (171002) 设 $a<c<d<b$, $f(x)$ 在 $[a,b]$ 二阶可导且 $f(c)=f(d)=0$. 再设 $p>1$, 试证: $$\bex \sev{\int_a^b f(x)\rd x}^p\leq A\int_a^b |f''(x)|^p\rd x\eex$$, 其中 $A=\cdots$ - [售价 5 元] zhangzujin 2018-6-2 042 zhangzujin 2018-6-2 21:11
[积分] (171001) 设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的有界函数, 在 $x=1$ 处连续, 试求 $\dps{\vlm{n}n\int_0^1 \sex{\sum_{k=n}^\infty \f{x^k}{k}}^2 f(x)\rd x}$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-6-2 043 zhangzujin 2018-6-2 21:09
[极限] (170930) 设 $\al>1$, $u_n>0$ 满足 $\dps{\vlm{n}u_n=0}$, $\dps{\vlm{n}\f{u_n-u_{n+1}}{u_n^\al}}$ 存在但不等于 $0$. 试证: $\dps{\vsm{n}u_n}$ 收敛当且仅当 $\al<2$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-5-28 064 zhangzujin 2018-5-28 18:45
[极限] (170929) 设 $a_1=a\in [0,2]$, $a_{n+1} =2^n-\sqrt{2^n(2^n-a_n)},\ n\geq 1$. 试求 $\dps{\vsm{n}a_n^2}$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-5-28 043 zhangzujin 2018-5-28 18:42
[积分] (170928) 设 $p>0, r\geq 1$; $f$ 是 $[0,\infty)$ 上的连续可导函数, 满足 $\dps{\int_0^\infty |f(x)|^p\rd x<\infty,\ \int_0^\infty |f'(x)|^r\rd x<\infty}$. 试证: $\dps{\vlm{x}f(x)=0}$. - [售价 4 元] zhangzujin 2018-5-27 049 zhangzujin 2018-5-27 08:11
[微分] (170927) 设 $\dps{f(x)=\f{x}{\ln (1-x)}}$, 试证: $\dps{\vsm{n} \f{x^n(1-x)^n}{n!}f^{(n)}(x)=-\f{1}{2}xf(x),\ \forall\ 0<x<1}$. - [售价 1 元] zhangzujin 2018-5-27 058 zhangzujin 2018-5-27 08:11
[积分] (170926) 设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的非常值连续函数, $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x=0}$. 记 $\dps{m=\min_{x\in [0,1]}f(x),\ M=\max_{x\in [0,1]}f(x)}$, 试证: $$\bex \sev{\int_0^1 xf(x)\rd x}\leq \f{-mM}{2(M-m)}... - [售价 5 元] zhangzujin 2018-5-27 054 zhangzujin 2018-5-27 08:10
[连续] (170925) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x=0}$, 试证: $\dps{\exists\ c\in (0,1),\st c^2f(c)=\int_0^c (x+x^2)f(x)\rd x}$. - [售价 2 元] zhangzujin 2018-5-27 060 zhangzujin 2018-5-27 08:09
[积分] (170924) 设 $f$ 在 $[-1,1]$ 上二阶连续可导, $f(0)=0$. 试证: $\dps{ \int_{-1}^1 [f''(x)]^2\rd x\geq 10\sez{\int_{-1}^1 f(x)\rd x}^2}$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-5-26 051 zhangzujin 2018-5-26 21:25
[积分] (170923) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, $\dps{A=f(1),\ B=\int_0^1 x^{-\f{1}{2}}f(x)\rd x}$. 试求 $$\bex L=\vlm{n} n\sed{\int_0^1 f(x)\rd x -\sum_{k=1}^n \sez{\f{k^2}{n^2}-\f{(k-1)^2}{n^2}}f\sex{\f{(k-1)^2}{n^2}}}. \eex$$ - [售价 5 元] zhangzujin 2018-5-26 049 zhangzujin 2018-5-26 21:24
[微分] (170922) 设 $n$ 是自然数, $f$ 在 $\bbR$ 上 $(4n+3)$ 次连续可导, 试证: $\exists\ a\in\bbR,\st$ $\dps{\prod_{i=0}^{4n+3}f^{(i)}(a)\geq 0}$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-5-26 089 zhangzujin 2018-5-26 21:19
[积分] (170921) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, 满足 $\dps{\int_\f{1}{3}^\f{2}{3}f(x)\rd x=0}$, 试证: $\dps{ \int_0^1 [f'(x)]^2\rd x\geq 27\sez{\int_0^1 f(x)\rd x}^2}$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-5-26 035 zhangzujin 2018-5-26 21:17
[级数] (170920) 设 $f$ 是 $[0,\infty)$ 上的递减函数, 满足 $\dps{\vlm{x}f(x)=0}$. 定义 $\dps{F(x)=\vsmk{n}{0}(-1)^n f(nx),\ x\in (0,\infty)}$. (1) 若 $f$ 在 $x=0$ 处连续, 且在 $[0,\infty)$ 上为凸函数, 试证... - [售价 5 元] zhangzujin 2018-5-26 043 zhangzujin 2018-5-26 10:30
[积分] (170919) 设 $f,g$ 满足 $\dps{\int_0^1 f(x)g(x)\rd x=0}$. 试证: $$\int_0^1 f^2\int_0^1 g^2\geq 4\sex{\int_0^1 f\int_0^1 g}^2, \int_0^1 f^2 \sex{\int_0^1 g}^2 +\int_0^1 g^2\sex{\int_0^1 f}^2\geq 4\sex{\int_0^1 f\int_0^1 g}^2.$$ - [售价 5 元] zhangzujin 2018-5-26 050 zhangzujin 2018-5-26 10:27
[微分] (170918) $f$ 在 $I$ 上 $k$ ($k\geq 1$) 阶连续可导, 再设$\dps{R_k(x)=f(x)-\sum_{i=0}^k \f{f^{(i)}(0)}{i!}x^i,\ x\in I}$. 试证: $$\bex \lim_{(u,v)\to (0,0)}\f{R_k(u)-R_k(v)}{(u-v)(u^2+v^2)^\f{k-1}{2}}=0. \eex$$ - [售价 5 元] zhangzujin 2018-5-26 055 zhangzujin 2018-5-26 10:25
[微分] (170917) [浙江大学2018数分] 设函数集合 $\dps{S=\sed{f(x); \sup_{x\in\bbR} \sev{x^m\f{\rd^k f}{\rd x^k}}<+\infty,\ m,n\in\bbN}}$. 若 $f(x)\in S$, 求证 $\hat f(x)\in S$. - [售价 8 元] zhangzujin 2018-5-13 0154 zhangzujin 2018-5-13 06:37
[级数] (170916) [浙江大学2018数分] 设级数 $\dps{\vsm{n}na_n}$ 收敛, 定义 $x_n=a_{n+1}+2a_{n+2}+\cdots+ka_{n_k}+\cdots,\ (n=1,2,\cdots)$. (1) 问 $x_n$ 是否有意义? (2) 求证 $\dps{\vlm{n}x_n=0}$. - [售价 8 元] zhangzujin 2018-5-13 079 zhangzujin 2018-5-13 06:35
[微分] (170915) [浙江大学2018数分] 设 $f(y)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 且 $K(x,y)=\seddm{ y(1-x),&y<x\\ x(1-y),&y\geq x}$. 令 $\dps{u(x)=\int_0^1 K(x,y)f(y)\rd y}$, 问 $u(x)$ 在 $[0,1]$ 上是否连续并且求 $u''(x)$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-5-13 073 zhangzujin 2018-5-13 06:34
[微分] (170914) [浙江大学2018数分] 构造或者证明是否存在函数 $f(x)$: (1) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内连续可导, $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有无限个零点, 且对任一的 $x\in (0,1)$ 上不存在 $x$ 使得 $f(x)=f... - [售价 5 元] zhangzujin 2018-5-13 088 zhangzujin 2018-5-13 06:33
[连续] (170913) [浙江大学2018数分] 设函数列 $\sed{f_n(x)}$ 在 $(a,b)$ 上一致连续, 并且 $f_n(x)$ 一致收敛于 $f(x)$. 证明 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-5-13 080 zhangzujin 2018-5-13 06:32
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