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[极限] (190629) [谢惠民等2.7.3:2-18] 设 $x_1=c$, $x_{n+1}=a^{x_n}\ (a>0,\ a\neq 1)$, $n\in\bbN_+$. 根据下面提供的函数 $f(x)=a^x$ 和 $f(f(x))$ 的单调性和不动点的知识, 讨论数列 $\sed{x_n}$ 的敛散性. ... - [售价 99 角] zhangzujin 2019-4-17 11 zhangzujin 2019-4-17 08:27
[极限] (190628) [谢惠民等2.7.3:2-17] 令 $y_0\geq 2$, $y_n=y_{n-1}^2-2$, $n\in\bbN_+$. 设 $\dps{S_n=\f{1}{y_0}+\f{1}{y_0y_1} +\cdots +\f{1}{y_0y_1\cdots y_n}}$. 证明: $$\bex \vlm{n} S_n=\f{y_0-\sqrt{y_0^2-4}}{2}. \eex$$ - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 02 zhangzujin 2019-4-17 08:26
[极限] (190627) [谢惠民等2.7.3:2-16] 证明数列 $\sqrt{7}$, $\sqrt{7-\sqrt{7}}$, $\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7}}}$, $\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}}$, $\cdots$ 收敛, 并求其极限. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:25
[极限] (190626) [谢惠民等2.7.3:2-15] 由初始值 $a_0$ 和 $a_n=2^{n-1}-3a_{n-1}$, $n\in\bbN_+$, 确定数列 $\sed{a_n}$. 求 $a_0$ 的所有可能值, 使得数列 $\sed{a_n}$ 是严格单调增加的. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:24
[极限] (190625) [谢惠民等2.7.3:2-14] 设 $y_n=x_n+2x_{n+1}$, $n\in\bbN_+$. 证明: 若 $\sed{y_n}$ 收敛, 则 $\sed{x_n}$ 也收敛. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:24
[极限] (190624) [谢惠民等2.7.3:2-13] 设 $\dps{\vlm{n}x_n=0}$, 并且存在常数 $K$, 使得 $|y_1|+|y_2|+\cdots+|y_n|\leq K$ 对每个 $n$ 成立. 令 $z_n=x_1y_n+x_2y_{n-1}+\cdots +x_ny_1,\ n\in\bbN_+$, 证明: $\dps{\vlm{n}z_n=0}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 02 zhangzujin 2019-4-17 08:23
[极限] (190623) [谢惠民等2.7.3:2-12] 设 $0<\lm<1$, $\sed{a_n}$ 收敛于 $a$. 证明: $\dps{ \vlm{n}(a_n+\lm a_{n-1} +\lm^2 a_{n-2}+\cdots+\lm^na_0)=\f{a}{1-\lm}. }$ - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:23
[极限] (190622) [谢惠民等2.7.3:2-11] 用 Toeplitz 定理导出 Stolz 定理. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-4-17 02 zhangzujin 2019-4-17 08:22
[极限] (190621) [谢惠民等2.7.3:2-10] (Toeplitz 定理) 设对 $n,k\in\bbN_+$ 有 $t_{nk}\geq 0$. 又有 $\dps{\sum_{k=1}^n t_{nk}=1}$, $\dps{\vlm{n}t_{nk}=0}$. 若已知 $\dps{\vlm{n}a_n=a}$, 定义 $\dps{x_n=\sum_{k=1}^n t_{nk}a_k}$. 证明: $\dps{\vlm{n}x_n=a}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:22
[极限] (190620) [谢惠民等2.7.3:2-9] 设数列 $\sed{u_n}_{n\geq 0}$ 对每个非负整数 $n$ 满足条件 $\dps{ u_n=\lim_{m\to\infty}(u_{n+1}^2+u_{n+2}^2+\cdots+u_{n+m}^2). }$ 证明: 若存在有限极限 $$\bex \lim_{n\to\infty}(u_1+u_2+\cdots+u_n), \eex$$ 则只能是每个 $u_n=0$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:21
[极限] (190619) [谢惠民等2.7.3:2-8] 设 $\sed{a_n}$ 满足 $\dps{\lim_{n\to\infty}a_n\sum_{i=1}^n a_i^2=1}$. 证明: $\dps{\lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{3n}a_n=1}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:20
[极限] (190618) [谢惠民等2.7.3:2-7] 设 $\dps{A_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ n\in\bbN_+}$, 数列 $\sed{A_n}$ 收敛. 又有一个单调增加的正数数列 $\sed{p_n}$, 且为正无穷大量. 证明: $$\bex \lim_{n\to\infty}\frac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_n}=0. \eex$$ - [售价 8 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:20
[极限] (190617) [谢惠民等2.7.3:2-6] 设二项式系数 $\dps{\sex{n\atop 0}, \sex{n\atop 1},\cdots,\sex{n\atop n}}$ 的算术平均值和集合平均值分别记为 $A_n$ 和 $G_n$. ... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 11 zhangzujin 2019-4-17 08:19
[极限] (190616) [谢惠民等2.7.3:2-5] 设 $\dps{x_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^n \ln\sex{n\atop k},\ n\in\bbN_+}$. 求 $\dps{\lim_{n\to\infty}x_n}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:18
[极限] (190615) [谢惠民等2.7.3:2-4] 设 $\dps{S_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n},\ n\in\bbN_+}$. 用 $K_n$ 表示使 $S_k\geq n$ 的最小下标. 求极限 $\dps{\lim_{n\to\infty}\frac{K_{n+1}}{K_n}}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:18
[极限] (190614) [谢惠民等2.7.3:2-3] 求极限 $\dps{\lim_{n\to\infty}n\sin(2\pi n!e)}$. - [售价 7 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:17
[极限] (190613) [谢惠民等2.7.3:2-2] 证明: 对每个自然数 $n$ 成立不等式 $\dps{\sex{1+\frac{1}{n}}^n>\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}-\frac{e}{2n}}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:17
[极限] (190612) [谢惠民等2.7.3:2-1] 设 $\dps{a_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{n}}}}$ ($n$ 重根号), $n\in\bbN_+$. 证明: $\sed{a_n}$ 收敛. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 01 zhangzujin 2019-4-17 08:15
[极限] (190611) [谢惠民等2.7.3:1-20] (1) 设 $a_1>b_1>0$, $\dps{a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n},\ b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n},\ n\in\bbN_+}$. 证明: $\sed{a_n}$ 和 $\sed{b_n}$ 收敛于同一极限. (2) 在 $a_1=2\sqrt{3... - [售价 29 角] attach_img zhangzujin 2019-4-16 16 zhangzujin 2019-4-16 20:35
[极限] (190610) [谢惠民等2.7.3:1-19] 设 $a,b,c$ 是三个给定的实数. 令 $a_1=a,b_1=b,c_1=c$, 并以递推公式定义 $$\bex a_{n+1}=\frac{b_n+c_n}{2},\quad b_{n+1}=\frac{c_n+a_n}{2},\quad c_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\quad n\in\bbN_+. \eex$$ 求这三个数列的极限. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-16 02 zhangzujin 2019-4-16 20:32
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