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[微分] (171028) [华东师大2018数学竞赛] 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续可导, 且 $\dps{\sup_{-\infty<x<+\infty} |\e^{-x^2}f'(x)|<+\infty}$, 证明: $$\bex \sup_{-\infty<x<+\infty} |x\e^{-x^2}f(x)|<+\infty. \eex$$ - [售价 2 元] zhangzujin 2018-6-11 058 zhangzujin 2018-6-11 11:10
[极限] (171027) [华东师大2018数学竞赛] 求极限 $\dps{\vlmc{x}{1^-}\prod_{n=0}^\infty\sex{ \f{1+x^{n+1}}{1+x^n}}^{x^n}}$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-6-11 055 zhangzujin 2018-6-11 11:08
[极限] (171026) [华东师大2018数学竞赛] 证明:若 $\dps{\int_a^{\infty} f(t)\rd t}$ 收敛, 则 $\dps{\vlm{t}f(t)=0}$ 当且仅当 $\dps{\lim_{t_0\to\infty\atop \del\to 0} \om(f;t_0,\del)=0}$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-11 039 zhangzujin 2018-6-11 11:06
[微分] (171024) 对 $\forall\ n\in\bbZ_+$, 试证: $$\bex \f{n(n+1)(n+2)}{3} <\sum_{k=1}^n \f{1}{\ln^2\sex{1+\f{1}{k}}} <\f{n}{4}+\f{n(n+1)(n+2)}{3}. \eex$$ - [售价 2 元] zhangzujin 2018-6-11 050 zhangzujin 2018-6-11 11:01
[积分] (171020) 设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的非负连续函数, 试证: $\dps{ \int_0^1 f^3(x)\rd x\geq 4\int_0^1 x^2f(x)\rd x\cdot \int_0^1 xf^2(x)\rd x}$. - [售价 2 元] zhangzujin 2018-6-8 063 zhangzujin 2018-6-8 21:32
[积分] (171019) 设 $1<p\in\bbZ_+$, 且 $\dps{ \sum_{k=1}^{p-1} f\sex{\frac{k}{p}}=-\frac{1}{2}[f(0)+f(1)], }$ 试证: $$\bex \sez{\int_0^1 f(x)\rd x}^2\leq \frac{1}{5!p^4} \int_0^1 [f''(x)]^2\rd x. \eex$$ - [售价 5 元] zhangzujin 2018-6-8 067 zhangzujin 2018-6-8 21:30
[积分] 设 $f\in C^2[0,1]$, $\dps{ f(0)=-1,\ f'(1)=3,\ \int_0^1 xf''(x)\rd x=1. }$ 试求 $f(1)$. zhangzujin 2018-6-8 052 zhangzujin 2018-6-8 21:28
[积分] (171016) 设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的正值连续函数, 试证: $$\bex \int_0^1 f(x)\rd x-\sez{\int_0^1 \f{\rd x}{f(x)}}^{-1} \leq \max_{0\leq x,y\leq 1}\sez{\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(y)}}^2. \eex$$ - [售价 4 元] zhangzujin 2018-6-8 047 zhangzujin 2018-6-8 21:27
[积分] (171015) 设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的正值连续函数, 试证: $$\bex \sez{\int_0^1 \f{\rd x}{f(x)}}^{-1} \leq \exp\sez{\int_0^1 \ln f(x)\rd x} \leq \int_0^1 f(x)\rd x. \eex$$ - [售价 2 元] zhangzujin 2018-6-8 049 zhangzujin 2018-6-8 21:26
[微分] (171014) 设 $n\in\bbZ_+$; $0<y_i\leq x_i<1$, $1\leq i\leq n$; $0\leq t\leq 1$. 试证: $$\bex \f{\ln x_1+\cdots+\ln x_n}{\ln y_1+\cdots +\ln y_n} \leq \sex{\f{1-x_1}{1-y_1}+\cdots+\f{1-x_n}{1-y_n}}^t. \eex$$ - [售价 4 元] zhangzujin 2018-6-8 066 zhangzujin 2018-6-8 21:25
[积分] (171013) 设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的非负可积函数, 试证: $\dps{\f{3}{4}\sez{\int_0^1 f(x)\rd x}^2\leq \f{1}{16} +\int_0^1 f^3(x)\rd x}$. - [售价 2 元] zhangzujin 2018-6-8 060 zhangzujin 2018-6-8 21:25
[积分] (171012) 设 $f$ 是 $[0,\infty)$ 上的正值连续函数, 试证: $$\bex \sez{\int_0^\infty f(x)\rd x}^2-2\int_0^\infty xf^2(x)\rd x \leq 2\sqrt{\int_0^\infty f^2(x)\rd x}\cdot \sqrt{\int_0^\infty x^2f^2(x)\rd x}. \eex$$ - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-5 061 zhangzujin 2018-6-5 18:19
[极限] (171011) 设 $f$ 是 $[0,\infty)$ 上的非负有界连续函数, 试求 $$\bex \vlm{n}n\sez{\sqrt[n]{\int_0^\infty f^{n+1}(x)\e^{-x}\rd x} -\sqrt[n]{\int_0^\infty f^n(x)\e^{-x}\rd x}}. \eex$$ - [售价 5 元] zhangzujin 2018-6-5 046 zhangzujin 2018-6-5 18:17
[积分] (171010) 设 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上满足 $$\bex S=\int_0^\infty f^2(x)\rd x<\infty,\quad T=\int_0^\infty x^2f^2(x)\rd x<\infty,\quad U=\int_0^\infty x^4f^2(x)\rd x<\infty. \eex$$ 再令 $V=T+\sqrt{T^2+3SU}$. 试证: ... - [售价 5 元] zhangzujin 2018-6-5 052 zhangzujin 2018-6-5 18:16
[积分] (171009) 设 $f$ 在 $[-1,1]$ 上满足 $f(0)=f^{(2)}(0)=\cdots =f^{(2n)}(0)=0$. 试证: $$\bex \f{1}{2} [(2n+2)!]^2(4n+5)\sez{\int_{-1}^1 f(x)\rd x}^2 \leq \int_{-1}^1 [f^{(2n+2)}(x)]^2\rd x. \eex$$ - [售价 5 元] zhangzujin 2018-6-5 046 zhangzujin 2018-6-5 18:12
[微分] (171008) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, $f(0)=0$, $f(1)=1$. 试证: $$\bex \forall\ n\in\bbZ_+,\ \exists\ 0<c_1<\cdots<c_n<1,\st \prod_{k=1}^n f'(c_k)=1. \eex$$ - [售价 5 元] zhangzujin 2018-6-5 055 zhangzujin 2018-6-5 18:11
[极限] (171007) 设 $\dps{f(n)=\sum_{k=1}^n k^k,\ g(n)=\sum_{k=1}^n f(k)}$, 试求 $\dps{\vlm{n}\sez{\f{g(n+2)}{g(n+1)}-\f{g(n+1)}{g(n)}}}$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-6-3 053 zhangzujin 2018-6-3 18:41
[积分] (171006) [Carlson 不等式] 设 $f: [0,\infty)\to [0,\infty)$. 试证: $$\bex \sez{\int_0^\infty f(x)\rd x}^4\leq \pi^2 \int_0^\infty f^2(x)\rd x \cdot \int_0^\infty x^2f^2(x)\rd x. \eex$$ - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-3 049 zhangzujin 2018-6-3 18:40
[微分] (171005) 设 $n\geq 2$, $a_2,\cdots, a_n>0$ 满足 $\dps{\prod_{k=2}^n a_k=1}$. 试证: $\dps{\prod_{k=2}^n (1+a_k)^k>\f{2}{\e}\sex{\f{n}{2}}^{2n-1}}$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-3 051 zhangzujin 2018-6-3 18:38
[微分] (171004) 设 $f$ 是 $\bbR$ 上的凸函数, 满足 $f(x+y)+f(x-y)-2f(x)\leq y^2,\ \forall\ x,y\in\bbR$. 试证: $f$ 可微, 且 $|f'(x)-f'(y)|\leq |x-y|,\ \forall\ x,y\in\bbR$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-2 093 zhangzujin 2018-6-2 21:13
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