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数学分析 今日: 0|主题: 284|排名: 1 

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[极限] (171119) 设 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上连续, 且满足 $\dps{\vlm{x} f(x)\int_0^x f^2(t)\rd t=1}$, 试证: $\dps{\vlm{x} 3xf^3(x)=1}$. - [售价 2 元] zhangzujin 2018-6-11 055 zhangzujin 2018-6-11 11:34
[极限] (171118) 设 $\sed{x_n}$ 是有界数列, $a\in\bbR$ 满足 $\dps{\vlm{n}\f{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k^j=a^j,\ j=1,2}$. 试证: $\dps{\vlm{n} \f{1}{n}\sum_{k=1}^n \sin x_k=\sin a}$. - [售价 2 元] zhangzujin 2018-6-11 059 zhangzujin 2018-6-11 11:33
[微分] (171116) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 试证: $\exists\ c\in (0,1),\st$ $\dps{\int_0^c f(x)\rd x=(1-c)f(c)}$. - [售价 1 元] zhangzujin 2018-6-11 054 zhangzujin 2018-6-11 11:26
[积分] (171115) 设 $f:\bbR\to \bbR$ 有原函数 $F$, 且满足 $2xF(x)=f(x),\ x\in\bbR$. 试求 $f(x)$. zhangzujin 2018-6-11 066 zhangzujin 2018-6-11 11:25
[极限] (171114) 设 $\sed{a_n}$ 是有界数列, $\dps{b_n=\f{a_1+\cdots+a_n}{n}}$. 设 $\sed{a_n}, \sed{b_n}$ 的极限点构成的集合分别为 $A$, $B$. 试证: 若 $A=B$, 则 $A$ 是有界闭区间 (单点集是长度退化为零的闭区间... - [售价 5 元] zhangzujin 2018-6-11 050 zhangzujin 2018-6-11 11:22
[极限] (171113) 试证: $\forall\ n\in \bbN$, 存在唯一的 $t(n)>0$, 使得 $[t(n)-1] \ln t(n)=n$, 并求 $\dps{\vlm{n}t(n)\f{\ln n}{n}}$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-11 077 zhangzujin 2018-6-11 11:21
[极限] (171112) 设 $f:\bbZ_+\to\bbR_+$ 满足 $\dps{\vlm{n}\f{f(n)}{n}=a>0}$, 试求 $\dps{\vlm{n}\sez{ \sqrt[n+1]{\prod_{k=1}^{n+1} f(k)} -\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} f(k)} }}$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-11 052 zhangzujin 2018-6-11 11:20
[微分] (171111) 设 $\ve>0$, $f$ 是 $(0,+\infty)$ 上的正值可微函数, $\dps{\vlm{x} x^\f{1}{\ve} f(x)=\infty}$. 试证: $\dps{\vli{x}\sev{\f{f'(x)}{f^{1+\ve}(x)}}=0}$. - [售价 2 元] zhangzujin 2018-6-11 045 zhangzujin 2018-6-11 11:20
[积分] (171110) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上 $n$ 阶连续可微, 满足 $\dps{f\sex{\f{1}{2}}=0}$; 对任一小于 $n$ 的偶数 $i$, $\dps{f^{(i)}\sex{\f{1}{2}}=0}$. 试证: $$\bex \sex{\int_0^1 f(x)\rd x}^2\leq \f{1}{(2n+1)2^{2n} (n!)^2}\int_0^1 |f^{(n)}(x)|^2\rd x. \eex$$ - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-11 050 zhangzujin 2018-6-11 11:19
[微分] (171108) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续可微, 且 $f'(x)>0,\ \forall\ x\in (a,b)$. 试证: 对 $\forall\ a\leq x_1<x_2\leq b,\ f(x_1)f(x_2)>0$, 存在 $\xi\in (x_1,x_2),\st $ $\dps{\f{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{f(x_2)-f(x_1)}=\xi-\f{f(\xi)}{f'(\xi)}}$. - [售价 2 元] zhangzujin 2018-6-11 076 zhangzujin 2018-6-11 11:18
[极限] (171107) 设 $\dps{a_n=\f{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^n}}$, $b_n=n^{\sin^2x} (a_{n+1}^{\cos^2x}-a_n^{\cos^2x})$, 试求 $\dps{\vlm{n}b_n(x)}$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-11 050 zhangzujin 2018-6-11 11:17
[积分] (171106) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 满足 $\dps{f\sex{\f{1}{2}}=0}$, 试证: $\dps{\int_0^1 |f''(x)|^2\rd x \geq 320 \sez{\int_0^1 f(x)\rd x}^2}$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-11 057 zhangzujin 2018-6-11 11:17
[极限] (171105) 设 $f$ 在 $\bbR$ 上正值连续, 满足 $\dps{\vlm{x}\f{xf'(x)}{f(x)}=0}$, $g$ 在 $\bbR$ 上满足 $\dps{\vlm{x}g(x)>-1}$. 试证: $\dps{\vlm{x}\f{f(x+xg(x))}{f(x)}=-1}$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-11 056 zhangzujin 2018-6-11 11:16
[连续] (171104) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 满足 $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x=0}$. 试证: $\dps{\forall\ n\in\bbZ_+,\ \exists\ \xi\in (0,1),\st n\int_0^\xi x^nf(x)\rd x=\xi^{n+1} f(\xi)}$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-11 047 zhangzujin 2018-6-11 11:16
[微分] (171103) 设 $0<x<y\leq 1$, 试证: $|y\ln y-x\ln x|\leq |y-x|^{1-\f{1}{\e}}$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-11 059 zhangzujin 2018-6-11 11:15
[积分] (171102) 设 $n\in\bbN$, $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 满足 $\dps{\int_0^1 f^{2n+1}(x)\rd x=0}$. 试证: $\dps{\f{(2n+1)^{2n+1}}{(2n)^{2n}}\sez{\int_0^1 f(x)\rd x}^{4n} \leq \int_0^1 f^{4n}(x)\rd x}$. - [售价 5 元] zhangzujin 2018-6-11 057 zhangzujin 2018-6-11 11:14
[积分] (171101) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上非负连续, $\dps{\mu_n=\int_0^1 x^nf(x)\rd x}$. 试证: $\mu_{n+1}\mu_0\geq \mu_n\mu_1$, $\forall\ n\in\bbN$. - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-11 046 zhangzujin 2018-6-11 11:14
[级数] (171031) 试求 $\dps{\vsm{n}\f{1}{\sinh 2^n}}$. - [售价 2 元] zhangzujin 2018-6-11 051 zhangzujin 2018-6-11 11:12
[积分] (171030) 设 $\dps{A_n(x)=\sqrt{\f{2}{\pi}}\f{1}{n!} (1+x^2)^\f{n}{2} \f{\rd^n}{\rd x^n}\sex{\f{1}{1+x^2}}}$. 试证: $$\bex \int_\bbR A_m(x)A_n(x)\rd x=\del(m,n),\ \forall\ m,n\in\bbN, \quad \del(m,n)=\seddm{ 1,&m=n\\ 0,&m\neq n}. \eex$$ - [售价 3 元] zhangzujin 2018-6-11 071 zhangzujin 2018-6-11 11:12
[级数] (171029) [华东师大2018数学竞赛] 设 $\sed{a_n}$ 是单调递减的正数列. 证明: 级数 $\dps{\vsm{n}a_n\sin nx}$ 在任何区间上一致收敛的充分必要条件是 $\dps{\vlm{n}na_n=0}$. - [售价 6 元] zhangzujin 2018-6-11 043 zhangzujin 2018-6-11 11:10
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