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[级数] (181115) [第十届全国大学生数学竞赛非数学类试题] ... 若级数 $\dps{\vsm{n} a_n}$ 收敛, 则级数 $\dps{\vsm{n} \f{k\sqrt[k]{(a_1a_2\cdots a_k)(b_1b_2\cdots b_k)}}{b_{k+1}b_k}}$ 收敛. - [售价 3 角] zhangzujin 2019-3-24 11 zhangzujin 2019-3-24 08:18
[积分] (181114) [第十届全国大学生数学竞赛非数学类试题] 证明: 对于连续函数 $f(x)>0$, 有 $\dps{\ln \int_0^1 f(x)\rd x\geq \int_0^1 \ln f(x)\rd x}$. - [售价 2 角] zhangzujin 2019-3-24 01 zhangzujin 2019-3-24 08:17
[微分] (181113) [第十届全国大学生数学竞赛非数学类试题] 设 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内可微, 且 $\dps{\sqrt{\sex{\f{\p f}{\p x}}^2+\sex{\f{\p f}{\p y}}^2}\leq M}$, $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ 是 $D$ 内两点, ... ... - [售价 3 角] zhangzujin 2019-3-24 01 zhangzujin 2019-3-24 08:16
[积分] (181112) [第十届全国大学生数学竞赛非数学类试题] 计算三重积分 $\dps{\iiint_V (x^2+y^2)\rd V}$, 其中 $V$ 是由 $$\bex x^2+y^2+(z-2)^2\geq 4, x^2+y^2+(z-1)^2\leq 9, z\geq 0 \eex$$ 所围成的空心立体. - [售价 3 角] zhangzujin 2019-3-24 01 zhangzujin 2019-3-24 08:15
[积分] (181111) [第十届全国大学生数学竞赛非数学类试题] 设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 且 $1\leq f(x)\leq 3$. 证明: $$\bex 1\leq \int_0^1 f(x)\rd x\cdot \int_0^1 \f{1}{f(x)}\rd x\leq \f{4}{3}. \eex$$ - [售价 5 角] zhangzujin 2019-3-24 02 zhangzujin 2019-3-24 08:14
[积分] (181110) [第十届全国大学生数学竞赛非数学类试题] 设函数 $f(t)$ 在 $t\neq 0$ 时一阶连续可导, 且 $f(1)=0$, 求函数 $f(x^2-y^2)$, 使得曲线 $\dps{\int_L [y(2-f(x^2-y^2))]\rd x+xf(x^2-y^2)\rd y}$ 与路径无关, 其中 $L$ 为任一不予直线 $y=\pm x$ 相交的分段光滑曲线. - [售价 2 角] zhangzujin 2019-3-24 01 zhangzujin 2019-3-24 08:14
[极限] (181109) [第十届全国大学生数学竞赛非数学类试题] $\dps{\lim_{x\to 0}\f{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}=\tk}$. - [售价 2 角] zhangzujin 2019-3-24 01 zhangzujin 2019-3-24 08:13
[积分] (181108) [第十届全国大学生数学竞赛非数学类试题] $\dps{\int \f{\ln (x+\sqrt{1+x^2})}{(1+x^2)^\f{3}{2}}\rd x=\tk}$. - [售价 2 角] zhangzujin 2019-3-24 01 zhangzujin 2019-3-24 08:12
[微分] (181107) [第十届全国大学生数学竞赛非数学类试题] 若曲线 $y=y(x)$ 由 $\seddm{ x=t+\cos t\\ \e^y+ty+\sin t=1}$ 确定, 则此曲线在 $t=0$ 对应点处的切线方程为 $\tk$. - [售价 2 角] zhangzujin 2019-3-24 01 zhangzujin 2019-3-24 08:12
[极限] (181106) [第十届全国大学生数学竞赛非数学类试题] 设 $\al\in (0,1)$, 则 $\dps{\vlm{n} [(n+1)^\al-n^\al]=\tk}$. - [售价 2 角] zhangzujin 2019-3-24 01 zhangzujin 2019-3-24 08:08
[微分] (181105) [第十届全国大学生数学竞赛数学类试题] 设 $f:\bbR\to(0,+\infty)$ 是一可微函数, 且对所有 $x,y\in\bbR$, 有 $|f'(x)-f'(y)|\leq |x-y|^\al$, 其中 $\al\in (0,1]$ 是常数. 求证: 对所有 $x\in\bbR$, 有 $\dps{|f'(x)|^\f{\al+1}{\al}<\f{\al+1}{\al}f(x)}$. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-3-24 01 zhangzujin 2019-3-24 08:08
[级数] (181104) [第十届全国大学生数学竞赛数学类试题] 设 ... 求证: (1) $\dps{\f{a_n}{a_{n+1}}<\f{n+1}{n}\cdot\f{\ln (n+1)}{\ln n}+b_n}$ ($n\geq 2$); (2) $\dps{\vsm{n}a_n}$ 发散. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-3-24 11 zhangzujin 2019-3-24 08:07
[微分] (181103) [第十届全国大学生数学竞赛数学类试题] 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, ...证明: (1) $\dps{\lim_{x\to 0^+}\f{f(x)}{x^n}=0\ (\forall\ n\geq 0)}$; (2) 在 $[0,1]$ 上成立 $f(x)\equiv 0$. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-3-24 11 zhangzujin 2019-3-24 08:04
[极限] (181030) [谢惠民等数学分析习题课讲义1.3.2小节题8] 设 $a,c,g,t$ 均为非负数, $a+c+g+t=1$, 证明 $a^2+c^2+g^2+t^2\geq 1/4$, 且等号成立的充要条件是 $a=c=g=t=1/4$. - [售价 1 角] zhangzujin 2019-3-23 04 zhangzujin 2019-3-23 19:19
[极限] (181029) [谢惠民等数学分析习题课讲义1.3.2小节题7]... $$\bex \frac{\prod_{i=1}^n x_i}{\sex{\sum_{i=1}^n x_i}^n}\leq \frac{\prod_{i=1}^n (1-x_i)}{\sez{\sum_{i=1}^n (1-x_i)}^n}. \eex$$ - [售价 9 角] zhangzujin 2019-3-23 12 zhangzujin 2019-3-23 19:18
[极限] (181028) [谢惠民等数学分析习题课讲义1.3.2小节题6] 试按下列提示, 给出 Cauchy 不等式的几个不同证明: ... (3) 用不等式 $\dps{|AB|\leq \frac{A^2+B^2}{2}}$; (4) ... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-3-23 11 zhangzujin 2019-3-23 19:17
[极限] (181027) [谢惠民等数学分析习题课讲义1.3.2小节题5] 证明以下几个不等式: ... (4) $\dps{|(a+b)^n-a^n|\leq (|a|+|b|)^n-|a|^n}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-3-23 11 zhangzujin 2019-3-23 19:02
[极限] (181026) [谢惠民等数学分析习题课讲义1.3.2小节题4] 证明: 当 $a,b,c$ 为非负数时成立 $\dps{\sqrt[3]{abc}\leq\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \frac{a+b+c}{3}}$. (这个结果还可以推广到 $n$ 个非负数的情况.) - [售价 2 角] zhangzujin 2019-3-23 01 zhangzujin 2019-3-23 19:01
[极限] (181025) [谢惠民等数学分析习题课讲义1.3.2小节题3] 证明几何平均值-调和平均值不等式: 若 $a_k>0,\ k=1,2,\cdots,n$, 则有 $$\bex \sex{\prod_{k=1}^n a_k}^\frac{1}{n} \geq \frac{n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}. \eex$$ - [售价 2 角] zhangzujin 2019-3-23 03 zhangzujin 2019-3-23 19:00
[极限] (181023) [谢惠民等数学分析习题课讲义1.3.2小节题1] 关于 Bernoulli 不等式的推广: ... (3) 证明: 若 $a_i>-1\ (i=1,2,\cdots,n)$ 且同号, 则成立不等式 $$\bex \prod_{i=1}^n(1+a_i)\geq 1+\sum_{i=1}^n a_i. ... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-3-23 17 zhangzujin 2019-3-23 18:59
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