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数学分析 今日: 0|主题: 284|排名: 1 

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[积分] (170209) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上有二阶连续导数, 且 $f(0)=f(1)=f'(0)=0$, $f'(1)=1$. 试证: $$\bex \int_0^1 |f''(x)|^2\rd x\geq 4, \eex$$ 并指出不等式中等号成立的条件. zhangzujin 2017-7-6 055 zhangzujin 2017-7-6 21:56
[积分] (170208) 设 $f$ 在 $[0,2]$ 上连续可导, 且 $f(0)=f(2)=1$. 若 $|f'|\leq 1$, 试证: $$\bex 1\leq \int_0^2f(x)\rd x\leq 3. \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 058 zhangzujin 2017-7-6 20:49
[积分] (170207) 设 $f$ 在 $[-1,1]$ 上可导, $\dps{M=\sup|f'|}$. 若 $$\bex \exists\ a\in (0,1),\st \int_{-a}^a f(x)\rd x=0, \eex$$ 试证: $$\bex \sev{\int_{-1}^1 f(x)\rd x}\leq M(1-a^2). \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 043 zhangzujin 2017-7-6 20:48
[连续] (170203) 设 $f:[0,\infty)\to \bbR$ 一致连续, 满足 $$\bex \vlm{n}f(x+n)=0,\quad\forall\ x\geq 0. \eex$$ 试证: $\dps{\vlm{x}f(x)=0}$. zhangzujin 2017-7-6 049 zhangzujin 2017-7-6 20:45
[连续] (170202) 设 $f,g:\bbR\to \bbR$ 均是连续的周期函数, 满足 $$\bex \vlm{x}[f(x)-g(x)]=0. \eex$$ 试证: $f\equiv g$. zhangzujin 2017-7-6 067 zhangzujin 2017-7-6 20:40
[微分] (170129) 试证: $$\bex 2\arctan x+\arcsin \f{2x}{1+x^2}=\pi,\quad x>1. \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 045 zhangzujin 2017-7-6 19:37
[极限] (170125) 设 $f$ 在 $(a,b)$ 上单增, 试证: 对 $\forall\ x\in (a,b)$, $$\bex f(x-0)=\sup_{y<x}f(y),\quad f(x+0)=\inf_{y>x}f(y) \eex$$ 存在. zhangzujin 2017-7-6 048 zhangzujin 2017-7-6 19:32
[极限] (170108) 设 $$\bex \lim_{x\to 0}f(x)=0,\quad \lim_{x\to 0}\f{f(2x)-f(x)}{x}=0. \eex$$ 试证: $$\bex \lim_{x\to 0}\f{f(x)}{x}=0. \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 048 zhangzujin 2017-7-6 17:43
[极限] (170107) 设 $\al>0$, 试证: $\dps{\vlmp{x}\f{\ln x}{x^\al}=0}$. zhangzujin 2017-7-6 047 zhangzujin 2017-7-6 17:42
[极限] (170106) 设 $f:(-a,a)\bs \sed{0}\to (0,+\infty)$ 满足 $$\bex \lim_{x\to 0}\sez{f(x)+\f{1}{f(x)}}=2. \eex$$ 试证: $\dps{\lim_{x\to 0}f(x)=1}$. zhangzujin 2017-7-6 056 zhangzujin 2017-7-6 17:41
[微分] (161231) 已知函数 $f(x)$ 的反函数是 $\varphi(y)$, 写出用 $f',f'',f'''$ 表示 $\varphi'$, $\varphi''$, $\varphi'''$ 的表达式. zhangzujin 2017-7-6 054 zhangzujin 2017-7-6 14:02
[级数] (161230) 设 $\sed{a_n}$ 递减趋于零, 试证: $$\bex \vsm{n}\f{a_n}{n}<\infty\lra a_n=O\sex{\f{1}{\ln n}},\ \vsm{n}(a_n-a_{n+1})\ln n<\infty. \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 049 zhangzujin 2017-7-6 14:01
[极限] (161229) 设 $$\bex a_0=0,\quad a_{n+1}=a_n+e^{-a_n}\ (n\geq 0). \eex$$ 再设 $b_n=a_n-\ln n\ (n\geq 1)$. 试证: $$\bex 0<b_{n+1}<b_n,\quad \vlm{n}b_n=0. \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 045 zhangzujin 2017-7-6 13:59
[积分] (161228) [华中科技大学2017数分, 郑州大学2017数分] 设 $D=\sed{(x,y)\in\bbR^2;x^2+y^2\leq 1}$, $f\in C^1(D)$, 试证: $$\bex \iint_D |f(x,y)-f(0,0)|\rd x\rd y \leq \iint_D \f{\sqrt{f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}}{2\sqrt{x^2+y^2}}\rd x\rd y. \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 0101 zhangzujin 2017-7-6 13:58
[极限] (161225) 判断: 若对数列 $\{a_n\}$ 的任意两个子列 $\{a_{{n}_k}\}$ 与 $\{a_{{m}_k}\}$, 均有 $\dps{\vlm{k}(a_{{n}_k}-a_{{m}_k})=0}$, 则$\{a_n\}$ 收敛. zhangzujin 2017-7-6 070 zhangzujin 2017-7-6 13:56
[实数理论] (161219) 设 $n\geq 2$, 实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 都大于 $-1$, 并且它们有着相同的符号. 证明: $$\bex (1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)>1+a_1+a_2+\cdots+a_n. \eex$$ zhangzujin 2017-7-6 081 zhangzujin 2017-7-6 13:46
[极限] (161218) (1) 证明方程 $\tan x=x$ 在 $\dps{\sex{n\pi,n\pi+\f{\pi}{2}}}$ 内存在实根 $\xi_n$, $n=1,2,\cdots$; (2) 求极限 $\dps{\vlm{n}(\xi_{n+1}-\xi_n)}$. zhangzujin 2017-7-6 070 zhangzujin 2017-7-6 13:45
[积分] (161217) [华中师范大学2015数分] 设 $\Om$ 是 $\bbR^3$ 中简单光滑闭曲面 $\vSa$ 所围的有界连通区域. 考查问题 $$\bee\seddm{ \lap u=0,&(x,y,z)\in \Om\\ u|_{\vSa}=f(x,y,z),&(x,y,z)\in \vSa }, \eee$$... zhangzujin 2017-7-6 040 zhangzujin 2017-7-6 09:20
[连续] (161215) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上有定义, 且 $g(0)>0$, $g(1)<0$, $f(x)+g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增. 试证: 存在 $\xi\in (0,1)$ 使得 $g(\xi)=0$. zhangzujin 2017-7-6 080 zhangzujin 2017-7-6 09:17
[级数] (161214) [上海财经大学2015数分] 试证: (1) $\dps{\inf_{n\geq 1}|\sin n|=0}$; (2) $\sed{\sin n}$ 发散; (3) 试求 $\dps{\vsm{n}(\sin n)x^{n-1}}$ 的收敛域及和函数. zhangzujin 2017-7-6 038 zhangzujin 2017-7-6 09:15
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