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[极限] (190609) [谢惠民等2.7.3:1-18] 设 $a_1=b, a_2=c$, 在 $n\geq 3$ 时, 由 $\dps{a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}}$ 定义. 求 $\dps{\lim_{n\to\infty}a_n}$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-16 02 zhangzujin 2019-4-16 20:30
[极限] (190608) [谢惠民等2.7.3:1-17] 设对每个 $n$ 有 $x_n<1$ 和 $\dps{(1-x_n)x_{n+1}\geq \frac{1}{4}}$. 证明 $\sed{x_n}$ 收敛, 并求极限. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-16 01 zhangzujin 2019-4-16 20:30
[极限] (190607) [谢惠民等2.7.3:1-16] 证明: $\dps{\lim_{n\to\infty}(n!)^{1/n^2}=1}$. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-4-16 01 zhangzujin 2019-4-16 20:27
[极限] (190606) [谢惠民等2.7.3:1-15] 设已知存在极限 $\dps{\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}}$, 证明: $\dps{\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=0}$. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-4-16 01 zhangzujin 2019-4-16 20:27
[极限] (190605) [谢惠民等2.7.3:1-14] 设 $\dps{a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{3}} +\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}} -2\sqrt{n}}$, $n\in\bbN_+$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-16 01 zhangzujin 2019-4-16 20:26
[极限] (190604) [谢惠民等2.7.3:1-13] (对于命题 2.5.4 的改进) 证明: (1) $n\geq 2$ 时成立 $\dps{ 1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{n!n} =3-\frac{1}{2!1\cdot 2} -\cdots-\frac{1}{n!(n-1)n}; }$ ... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-16 11 zhangzujin 2019-4-16 20:26
[极限] (190603) [谢惠民等2.7.3:1-12] 证明: $\dps{\sex{\frac{n}{e}}^n<n!<e\sex{\frac{n}{2}}^n}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-16 04 zhangzujin 2019-4-16 20:24
[极限] (190602) [谢惠民等2.7.3:1-11] 证明: $\dps{\sex{\frac{n}{3}}^n<n!<\sex{\frac{n}{2}}^n}$, 其中右边的不等式当 $n\geq 6$ 时成立. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-16 01 zhangzujin 2019-4-16 20:24
[极限] (190601) [谢惠民等2.7.3:1-10] (1) 设正数列 $\dps{\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=0}$. 证明: $\sed{a_n}$ 是正无穷大量. (2) 设正数列 $\sed{a_n}$ 满足条件 $\dps{\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}+a_{n+2}}=0}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-16 03 zhangzujin 2019-4-16 20:22
[极限] (190531) [谢惠民等2.7.3:1-9] (1) 设 $\sed{x_n}$ 收敛, 令 $y_n=n(x_n-x_{n-1})$, $n\in\bbN_+$, 问 $\sed{y_n}$ 是否收敛? (2) 在上一小题中, 若 $\sed{y_n}$ 收敛, 证明: $\sed{y_n}$ 收敛于 $0$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-16 03 zhangzujin 2019-4-16 20:21
[极限] (190530) [谢惠民等2.7.3:1-8] 证明: 当 $0<k<1$ 时, $\dps{\lim_{n\to\infty}[(1+n)^k-n^k]=0.}$ - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-16 01 zhangzujin 2019-4-16 20:20
[极限] (190529) [谢惠民等2.7.3:1-7] 设 $a_0,a_1,\cdots,a_p$ 是 $p+1$ 个给定的数, 且满足条件 $a_0+a_1+\cdots+a_p=0$. 求 $$\bex \lim_{n\to\infty}\sex{a_0\sqrt{n}+a_1\sqrt{n+1}+\cdots+a_p\sqrt{n+p}}. \eex$$ - [售价 5 角] zhangzujin 2019-4-16 01 zhangzujin 2019-4-16 20:20
[极限] (190528) [谢惠民等2.7.3:1-6] 用 $p(n)$ 表示能整除 $n$ 的素数的个数. 证明: $\dps{\lim_{n\to\infty}\frac{p(n)}{n}=0}$. - [售价 7 角] zhangzujin 2019-4-16 01 zhangzujin 2019-4-16 20:19
[极限] (190527) [谢惠民等2.7.3:1-5] 设 $\dps{a_n=\sum_{k=1}^n \sex{\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1},\ n\in\bbN_+}$. 计算 $\dps{\lim_{n\to\infty}a_n}$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-16 02 zhangzujin 2019-4-16 20:19
[极限] (190526) [谢惠民等2.7.3:1-4] 设数列 $\sed{a_n}$ 收敛于 $0$. 又存在极限 $\dps{\lim_{n\to\infty}\sev{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=a}$. 证明: $|a|\leq 1$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-16 01 zhangzujin 2019-4-16 20:18
[极限] (190525) [谢惠民等2.7.3:1-3] 设 $\sed{a_n+a_{n+1}}$ 和 $\sed{a_n+a_{n+2}}$ 都收敛, 证明: $\sed{a_n}$ 收敛. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-16 03 zhangzujin 2019-4-16 20:18
[极限] (190524) [谢惠民等2.7.3:1-2] 设 $\sed{a_n}$ 有界, 且满足条件 $a_n\leq a_{n+2}$, $a_n\leq a_{n+3}$, $n\in\bbN_+$. 证明: $\sed{a_n}$ 收敛. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-16 01 zhangzujin 2019-4-16 20:17
[极限] (190523) [谢惠民等2.7.3:1-1] 设 $\sed{a_{2k-1}}$, $\sed{a_{2k}}$ 和 $\sed{a_{3k}}$ 都收敛, 证明: $\sed{a_n}$ 收敛. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-16 02 zhangzujin 2019-4-16 20:16
[积分] (190522) [湘潭大学2007年数学分析考研试题10] 设正值函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调递减, 证明: $\int_a^{+\infty} f(x)\rd x$ 与 $\int_a^{+\infty} f(x)\sin^2x\rd x$ 具有相同的敛散性. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-15 04 zhangzujin 2019-4-15 14:39
[极限] (190521) [湘潭大学2007年数学分析考研试题4] 设 $a_1=2, a_{n+1}=\f{1}{2}\sex{a_n+\f{1}{a_n}}$, $n=1,2,\cdots$. 证明: (1) 极限 $\vlm{n}a_n$ 存在; (2) 级数 $\vsm{n}\sex{\f{a_n}{a_{n+1}}-1}$ 收敛. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-4-15 02 zhangzujin 2019-4-15 14:38
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