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[微分] (191201) 定义 $f_0(x)\equiv 1$, $f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n'(x)$, $n=0,1,\cdots$. 证明: (1) $f_n(x)$ 是 $n$ 次多项式; (2) $f_n(x)$ 有 $n$ 个不同实根, 且关于原点对称. - [售价 49 角] zhangzujin 2019-6-12 019 zhangzujin 2019-6-12 18:47
[微分] (191130) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且使得 $\sed{x\in [0,1]; f(x)=0=f'(x)}=\vno$. 证明: $f$ 在 $[0,1]$ 中只有有限个零点. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-6-12 012 zhangzujin 2019-6-12 18:46
[微分] (191129) 设多项式 $p(x)$ 只有实零点. 证明: $[p'(x)]^2-p(x)p''(x)\geq 0, \forall\ x\in\bbR$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-6-12 019 zhangzujin 2019-6-12 18:44
[微分] (191123) [华东师范大学2019年数学竞赛试题4] 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上二阶可导, $f(0)=1, f'(0)=2$, 且 $f''(x)-f'(x)-2f(x)<0$. 证明: 当 $x>0$ 时, $f(x)<\e^{2x}$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-6-1 039 zhangzujin 2019-6-1 14:59
[微分] (191121) [浙江省2019年高等数学竞赛(工科类)试题4] 设由方程 $x+y+z=f(x^2+y^2+z^2)$ ($*$) 确定函数 $z=z(x,y)$. (1) 计算 $(y-z)\f{\p z}{\p x}+(z-x)\f{\p z}{\p y}$. (2) 如果以 $\vec{n}=(a,b,c)$ 为法向量的平面与 $(*)$ 交为圆, 求此法向量. - [售价 19 角] zhangzujin 2019-5-26 015 zhangzujin 2019-5-26 11:01
[微分] (191117) [浙江省2019年高等数学竞赛(工科类)试题1(4)] 如图, 将一根钢丝折成两部分, 一部分围成一个矩形 $ABED$ 的三条边 $AD$、$DE$、$EB$, 另一部分围成一个半圆 $ACB$, 矩形和半圆的面积之为 $1$, 求钢丝长度的最小值. - [售价 6 角] attach_img zhangzujin 2019-5-26 011 zhangzujin 2019-5-26 10:57
[微分] (191007) [华中科技大学2003年数学分析考研试题4] 设 $a,b>0$, 证明不等式: $$\bex \frac{a^3}{x^2}+\frac{b^3}{(1-x)^2}\geq (a+b)^3,\quad (0<x<1). \eex$$ - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-15 07 zhangzujin 2019-5-15 08:34
[微分] (191006) [华中科技大学2003年数学分析考研试题3] 设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, $g(x)>0$, $g(x)$ 在 $(a,b)$ 内可微且 $g'(x)\neq 0$. 证明存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex g'(\xi)\int_a^b f(x)\rd x =f(\xi)g(\xi)\ln\frac{g(b)}{g(a)}. \eex$$ - [售价 5 角] zhangzujin 2019-5-15 06 zhangzujin 2019-5-15 08:33
[微分] (191005) [华中科技大学2003年数学分析考研试题2] 设 $u(x,y)$ 是二次连续可微函数, 用极坐标代换 $x=r\cos\theta,y=r\sin \theta$ 变换式子 $\lap u=u_{xx}+u_{yy}$. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-5-15 05 zhangzujin 2019-5-15 08:32
[微分] (191003) [谢惠民等20.5.2:1-8] ... $$\hj{ \f{\p f}{\p x}\f{\p g}{\p y} -\f{\p f}{\p y}\f{\p g}{\p x}\neq 0. }$$ 又设有界闭区域 $D\subset G$. 证明: 在 $D$ 内满足方程组 $$\hj{ f(x,y)=0,\quad g(x,y)=0 }$$ 的点至多有有限个. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-13 124 zhangzujin 2019-5-13 08:34
[微分] (190926) 设 $\varphi(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, 且 $\varphi(0)=0, \varphi(1)=1$. 证明: 对任意正数 $a,b$, 必存在 $(0,1)$ 内的两个数 $\xi$ 与 $\eta$, 使 $$\hj{ \f{a}{\varphi'(\xi)} +\f{b}{\varphi'(\eta)}=a+b. }$$ - [售价 6 角] zhangzujin 2019-5-9 04 zhangzujin 2019-5-9 20:25
[微分] (190923) 设 $f(x)$ 连续, 且当 $x>-1$ 时, $f(x)\sez{\int_0^x f(t)\rd t+1}=\f{x\e^x}{2(1+x)^2}$, 求 $f(x)$. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-5-9 05 zhangzujin 2019-5-9 06:53
[微分] (190809) 已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上三阶可导, 且 $f(0)=-1$, $f(1)=0$, $f'(0)=0$, 试证至少存在一点 $\xi \in (0,1)$, 使 $$\bex f(x)=-1+x^2+\f{x^2(x-1)}{3!}f'''(\xi),\ x\in (0,1). \eex$$ - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 010 zhangzujin 2019-4-17 15:17
[微分] (190704) 设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续, 在 $(-1,1)$ 内三阶可导. 证明: 存在 $\xi\in (-1,1)$, 使得 $$\bex f(1)=f(-1)+2f'(0)+\f{f'''(\xi)}{3}+8\xi. \eex$$ - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-17 07 zhangzujin 2019-4-17 11:03
[微分] (190515) [清华大学2019年直博生摸底考试试题2] 证明 Legendre 多项式 $$\hj{ P_n(x)=\f{1}{2^nn!}\f{\rd^n}{\rd x^n}(x^2-1)^n }$$ 的根都是实数并且包含于区间 $(-1,1)$ 内. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-14 07 zhangzujin 2019-4-14 10:30
[微分] (190514) [清华大学2019年直博生摸底考试试题1] 证明不存在一个实可微函数 $f(x)$ 使得 $f(f(x))=-x$, $\forall\ x\in \bbR$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-14 012 zhangzujin 2019-4-14 10:30
[微分] (190414) [湘潭大学2001年数学分析考研试题3] 证明不等式: $$\hj{ \f{1-x}{1+x}<\e^{-2x},\ 0<x<1. }$$ - [售价 5 角] zhangzujin 2019-4-7 01 zhangzujin 2019-4-7 16:46
[微分] (170402) [北京大学数学系数学分析习题集05-09] ... (2) $|f^{(k)}(x)|\leq 2^\f{k(n-k)}{2} M_0^{1-\f{k}{n}}M_n^\f{k}{n},\ (0\leq k\leq n)$. - [售价 9 角] zhangzujin 2017-7-7 182 zhangzujin 2019-3-31 21:44
[微分] (190304) [中山大学2018年数学分析考研试题8] 求函数 $f(x)=\e^x+\e^{-x}+2\cos x$ 的极值. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-3-27 06 zhangzujin 2019-3-27 19:30
[微分] (190302) [中山大学2018年数学分析考研试题3] 讨论函数 $f(x,y,z)=xyz$ 在约束条件: $x^2+y^2+z^2=1$, $x+y+z=0$ 下的最值. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-3-27 02 zhangzujin 2019-3-27 19:27
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