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[连续] (191118) [浙江省2019年高等数学竞赛(工科类)试题1(5)] 定义在 $[-1,1]$ 上的函数 $f(x)=\seddm{ \f{1}{2^{n+1}},&\f{1}{2^{n+1}}<x\leq\f{1}{2^n}\\ 0,&-1\leq x\leq 0 }$, 讨论 $f(x)$ 的间断点, 并判断其类型. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-5-26 016 zhangzujin 2019-5-26 10:58
[连续] (190921) [谢惠民等5.7.2:2-20] 设 $f$ 是将区间 $[a,b]$ 映入自身的连续映射. 从 $[a,b]$ 内任一点 $x$ 出发, 用 $x_1=x, x_{n+1}=f(x_n)\ (n\in\bbN_+)$ 生成迭代数列 $\sed{x_n}$. 证明: $\sed{x_n}$ 收敛的充分必要条件是 $\dps{\vlm{n}(x_{n+1}-x_n)=0}$. - [售价 49 角] zhangzujin 2019-5-7 07 zhangzujin 2019-5-7 12:34
[连续] (190920) [谢惠民等5.7.2:2-19] 设 $f\in C(0,+\infty)$, 对每个 $x_0>0$, 有 $\dps{\vlm{n}f(nx_0)=0}$. 证明: $\dps{\vlmp{x}f(x)=0}$. - [售价 49 角] zhangzujin 2019-5-7 01 zhangzujin 2019-5-7 12:32
[连续] (190919) [谢惠民等5.7.2:2-18] ... 证明: 任何函数的严格极大值点 (严格极小值点) 至多可列, 并举出同时有可列个严格极大值点和严格极小值点的例子. ... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-7 113 zhangzujin 2019-5-7 12:31
[连续] (190918) [谢惠民等5.7.2:2-17] (本题是上一题的进一步加强) 设 $f$ 在开区间上连续, 且于每一点 $x\in I$ 处取到极值, 证明: $f$ 为 $I$ 上的常值函数. - [售价 19 角] zhangzujin 2019-5-7 01 zhangzujin 2019-5-7 12:29
[连续] (190917) [谢惠民等5.7.2:2-16] 设 $f$ 在开区间 $I$ 上连续, 且于每点 $x\in I$ 取到极大值 (或者于每点取到极小值). 证明: $f$ 为 $I$ 上的常值函数. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-7 03 zhangzujin 2019-5-7 12:28
[连续] (190916) [谢惠民等5.7.2:2-15] 证明: 函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续的充分必要条件是: 对每一个 $\ve>0$, 存在正数 $N$, 使得当 $x,y\in I,\ x\neq y$ 且 $\dps{\sev{\f{f(x)-f(y)}{x-y}}>N}$ 时, 成立 $|f(x)-f(y)|<\ve$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-7 03 zhangzujin 2019-5-7 12:26
[连续] (190915) [谢惠民等5.7.2:2-14] 设 $f,g$ 是周期函数, 且有 $\dps{\vlmp{x}[f(x)-g(x)]=0}$, 证明: $f(x)\equiv g(x)$. (注意: 本题并不需要 $f$ 和 $g$ 为连续函数的条件.) - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-7 07 zhangzujin 2019-5-7 08:27
[连续] (190914) [谢惠民等5.7.2:2-13] 设 $f_1,f_2$ 是分别以 $T_1,T_2$ 为周期的连续函数, 且均非常值函数. 证明: 若周期 $T_1,T_2$ 不可公约, 则 $f_1+f_2$ 不是周期函数. - [售价 29 角] zhangzujin 2019-5-7 02 zhangzujin 2019-5-7 08:26
[连续] (190913) [谢惠民等5.7.2:2-12] 设 $f$ 在区间 $[0,1]$ 上满足以下条件: (1) $f(0)>0, f(1)<0$; (2) 存在一个函数 $g\in C[0,1]$, 使得 $f+g$ 在 $[0,1]$ 上单调增加. 证明: $f$ 在 $(0,1)$ 中有零点. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-7 01 zhangzujin 2019-5-7 08:24
[连续] (190912) [谢惠民等5.7.2:2-11] 设 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上单调增加, $f(a)>a$, $f(b)<b$. 证明: $f$ 在 $(a,b)$ 内必有不动点. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-5-7 01 zhangzujin 2019-5-7 08:24
[连续] (190911) [谢惠民等5.7.2:2-10] 设函数 $f\in C[a,b]$, 定义 $\dps{M(x)=\max_{a\leq y\leq x}f(y),\ m(x)=\min_{a\leq y\leq x}f(y)}$. 证明: 函数 $M,m\in C[a,b]$. - [售价 8 角] zhangzujin 2019-5-7 01 zhangzujin 2019-5-7 08:23
[连续] (190910) [谢惠民等5.7.2:2-9] 设 $f$ 是从 $\bbR$ 到 $\bbR$ 的一对一连续映射, 有不动点, 又满足 $f(2x-f(x))\equiv x$, $\forall\ x\in\bbR$. - [售价 19 角] zhangzujin 2019-5-7 05 zhangzujin 2019-5-7 08:22
[连续] (190909) [谢惠民等5.7.2:2-8] 确定使得函数方程 $f(f(x))=kx^9$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续解时参数 $k$ 应满足的充分必要条件. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-7 02 zhangzujin 2019-5-7 08:21
[连续] (190908) [谢惠民等5.7.2:2-7] 设 $f\in C[0,1]$, $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(f(x))\equiv x$. 证明: $f(x)\equiv x$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-7 01 zhangzujin 2019-5-7 08:21
[连续] (190907) [谢惠民等5.7.2:2-6] 设 $n$ 为自然数. 求满足函数方程 $f(x+y^n)=f(x)+(f(y))^n$ $(x,y\in\bbR)$ 的所有解. - [售价 19 角] zhangzujin 2019-5-7 01 zhangzujin 2019-5-7 08:20
[连续] (190906) [谢惠民等5.7.2:2-5] 是否存在定义于 $(-\infty,+\infty)$ 的连续函数 $f$, 使对于任何 $c\in\bbR$, (1) 方程 $f(x)=c$ 都恰有两个解? (2) 方程 $f(x)=c$ 都恰有三个解? - [售价 19 角] attach_img zhangzujin 2019-5-6 08 zhangzujin 2019-5-6 16:35
[连续] (190905) [谢惠民等5.7.2:2-4] 证明: 区间上的函数不可能以区间的每个点为它的可去间断点. - [售价 3 角] zhangzujin 2019-5-6 03 zhangzujin 2019-5-6 16:33
[连续] (190904) [谢惠民等5.7.2:2-3] 设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上定义, 且处处有极限. 证明: (1) ... (2) $f$ 在 $[a,b]$ 至多只有可列个间断点. - [售价 19 角] zhangzujin 2019-5-6 14 zhangzujin 2019-5-6 16:32
[连续] (190903) [谢惠民等5.7.2:2-2] 设函数 $f$ 在区间 $[0,n]$ 上连续, 且有 $f(0)=f(n)$, 其中 $n$ 是一个自然数. 证明: 至少存在 $n$ 对不同的 $(x,y)$, 使得 $f(x)=f(y)$, 同时 $x-y$ 为非零正数. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-5-6 01 zhangzujin 2019-5-6 16:27
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