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[连续] (190829) [谢惠民等5.7.2:1-20] 设 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续, 证明: 存在非负常数 $a$ 和 $b$, 使得成立 $|f(x)|\leq a|x|+b$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 04 zhangzujin 2019-4-18 08:58
[连续] (190828) [谢惠民等5.7.2:1-19] 设函数 $f$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上一致连续, 且对任何 $x\in [0,1]$ 有 $\dps{\vlm{n} f(x+n)=0}$. 证明: $$\bex \vlmp{n} f(x)=0. \eex$$ - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 04 zhangzujin 2019-4-18 08:57
[连续] (190827) [谢惠民等5.7.2:1-18] 证明: 函数 $f$ 在有限区间 $I$ 上一致连续的充分必要条件是: 当 $\sed{x_n}$ 为基本数列时, $\sed{f(x_n)}$ 也一定是基本数列. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 01 zhangzujin 2019-4-18 08:57
[连续] (190826) [谢惠民等5.7.2:1-17] 证明: 函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续的充分必要条件是: 对任何满条件 $\dps{\vlm{n}(x_n-y_n)=0}$ 的 $\sed{x_n}\subset I$ 和 $\sed{y_n}\subset I$, 都有 $\dps{\vlm{n}[f(x_n)-f(y_n)]=0}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 02 zhangzujin 2019-4-18 08:56
[连续] (190825) [谢惠民等5.7.2:1-16] 设函数 $f$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上满足 Lipschitz 条件, 其中 $a>0$. 证明: $\dps{\f{f(x)}{x}}$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 01 zhangzujin 2019-4-18 08:55
[连续] (190824) [谢惠民等5.7.2:1-15] 证明: 不等于常数的连续周期函数一定有最小正周期. 又问: 如果将连续性条件去掉, 结论还能成立否? - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 01 zhangzujin 2019-4-18 08:54
[连续] (190823) [谢惠民等5.7.2:1-14] 设 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 且存在 $k>0$, 使得对任一 $x_1,x_2\in\bbR$, 成立 $|f(x_1)-f(x_2)|\geq k|x_1-x_2|$. 证明: $f$ 严格单调且值域为 $(-\infty,+\infty)$. - [售价 49 角] zhangzujin 2019-4-18 02 zhangzujin 2019-4-18 08:54
[连续] (190822) [谢惠民等5.7.2:1-13] 设 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 且 $\dps{\vlm{x}f(f(x))=\infty}$, 证明: $\dps{\vlm{x} f(x)=\infty}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 01 zhangzujin 2019-4-18 08:53
[连续] (190821) [谢惠民等5.7.2:1-12] 设 $f\in C[a,b]$. 证明: 对每个给定的 $\ve>0$, 存在区间 $[a,b]$ 上的分段线性函数 $L(x)$ 使得 $|f(x)-L(x)|<\ve$ 在区间 $[a,b]$ 上处处成立. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 02 zhangzujin 2019-4-18 08:52
[连续] (190820) [谢惠民等5.7.2:1-11] 举出一个函数 $f$, 它的定义域为 $[0,1]$, 处处不连续, 但它的值域为区间. - [售价 19 角] zhangzujin 2019-4-18 01 zhangzujin 2019-4-18 08:51
[连续] (190819) [谢惠民等5.7.2:1-10] 设函数 $f$ 在区间 $I$ 上满足带指数的 Lipschitz 条件, 即存在 $M>0, \al>0$, 使得当 $x,y\in I$ 时, 成立 $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\al$. 证明: 若 $\al>1$, 则 $f$ 在 $I$ 上是... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 01 zhangzujin 2019-4-18 08:50
[连续] (190818) [谢惠民等5.7.2:1-9] 证明: 若函数 $f$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上连续且有界, 则对任意给定的 $\lm$, 存在一个数列 $\sed{x_n}$, 满足要求: (1) $\dps{\vlm{n}x_n=+\infty}$; (2) $\dps{\vlm{n}[f(\lm+x_n)-f(x_n)]=0}$. - [售价 19 角] zhangzujin 2019-4-18 03 zhangzujin 2019-4-18 08:50
[连续] (190817) [谢惠民等5.7.2:1-8] 设函数 $f$ 在区间 $I$ 上只有可去间断点. 定义 $\dps{g(x)=\lim_{t\to x} f(t),\ x\in I}$, 证明: $g\in C(I)$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 02 zhangzujin 2019-4-18 08:49
[连续] (190816) [谢惠民等5.7.2:1-7] 设对每个自然数 $n$, 数集 $A_n\subset [0,1]$ 是有限集, 而且 $A_i\cap A_j=\vno,\ \forall\ i,j\in \bbN_+$, $i\neq j$. 定义函数 ... - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-18 13 zhangzujin 2019-4-18 08:48
[连续] (190815) [谢惠民等5.7.2:1-6] 设 $f_n(x)=x^n+x,\ n\in\bbN_+$. 证明: (1) 对每个 $n>1$, 方程 $f_n(x)=1$ 在 $\dps{\sex{\f{1}{2},1}}$ 内有且仅有一个根, (2) 若 $\dps{c_n\in\sex{\f{1}{2},1}}$ 是 $f_n(x)=1... - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 01 zhangzujin 2019-4-18 08:47
[连续] (190814) [谢惠民等5.7.2:1-5] 设 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 对于任意 $x,y$, 满足 $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|\ (0<k<1)$. 证明: (1) 函数 $kx-f(x)$ 单调增加, (2) 存在唯一的 $\xi\in (-\infty,+\infty)$, 使 $f(\xi)=\xi$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 01 zhangzujin 2019-4-18 08:46
[连续] (190813) [谢惠民等5.7.2:1-4] 设 $f\in C(0,+\infty)$, 又设对每个实数 $c$, 方程 $f(x)=c$ 至多只有有限个解. 是分别给出极限 $\dps{\vlmp{x}f(x)}$ 及 $\dps{\lim_{x\to 0^+}f(x)}$ 存在的充分必要条件, 并加... - [售价 29 角] zhangzujin 2019-4-18 02 zhangzujin 2019-4-18 08:45
[连续] (190812) [谢惠民等5.7.2:1-3] 设 $f\in C[0,1]$, $f([0,1])\subset [0,1]$. 证明: $y=f(x)$ 的图像不仅与直线 $y=x$ 有交点, 而且还与直线 $y=1-x$ 有交点. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-18 01 zhangzujin 2019-4-18 08:44
[连续] (190811) [谢惠民等5.7.2:1-2] 设 $f\in C[0,1]$, $f(0)=f(1)$. 证明: $\forall\ n\in\bbN_+$, 存在 $\xi$, 使得 $\dps{f\sex{\xi+\f{1}{n}}=f(\xi)}$. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-4-18 01 zhangzujin 2019-4-18 08:44
[连续] (190810) [谢惠民等5.7.2:1-1] 设非负函数 $f\in C[0,1]$, 且 $f(0)=f(1)=0$. 证明: 对任一实数 $a\in (0,1)$, 存在 $x_0\in [0,1]$, 使得 $x_0+a\in [0,1]$, 又满足条件 $f(x_0)=f(x_0+a)$. 又问: 如去掉函数 $f$ 非负的条件, 则结论还成立否? - [售价 9 角] zhangzujin 2019-4-18 01 zhangzujin 2019-4-18 08:43
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