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[函数] (160922) 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$\bex n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi} <x_n<n\pi+\frac{\pi}{2}. \eex$$ - [售价 5 角] zhangzujin 2017-7-3 075 匿名 2019-3-11 08:58
[级数] (161117) [武汉大学2015数分] 设 $0<\al<1$, 求积分 $\dps{\int_0^1 f(t^\al)\rd t}$ 的上确界, 其中连续函数 $f$ 满足 $$\bex \int_0^1 |f(t)|\rd t\leq 1. \eex$$ - [售价 8 角] zhangzujin 2017-7-5 082 匿名 2019-3-11 08:58
[连续] (161215) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上有定义, 且 $g(0)>0$, $g(1)<0$, $f(x)+g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增. 试证: 存在 $\xi\in (0,1)$ 使得 $g(\xi)=0$. - [售价 9 角] zhangzujin 2017-7-6 088 匿名 2019-3-11 08:58
[极限] (161218) (1) 证明方程 $\tan x=x$ 在 $\dps{\sex{n\pi,n\pi+\f{\pi}{2}}}$ 内存在实根 $\xi_n$, $n=1,2,\cdots$; (2) 求极限 $\dps{\vlm{n}(\xi_{n+1}-\xi_n)}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2017-7-6 084 匿名 2019-3-11 08:58
[极限] (161225) 判断: 若对数列 $\{a_n\}$ 的任意两个子列 $\{a_{{n}_k}\}$ 与 $\{a_{{m}_k}\}$, 均有 $\dps{\vlm{k}(a_{{n}_k}-a_{{m}_k})=0}$, 则$\{a_n\}$ 收敛. - [售价 5 角] zhangzujin 2017-7-6 076 匿名 2019-3-11 08:58
[微分] (170311) 试证: $$\bex \arctan a-\arctan b>\f{a-b}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}},\quad \forall\ a>b>0. \eex$$ - [售价 5 角] zhangzujin 2017-7-7 094 匿名 2019-3-11 08:58
[微分] (170402) [北京大学数学系数学分析习题集05-09] ... (2) $|f^{(k)}(x)|\leq 2^\f{k(n-k)}{2} M_0^{1-\f{k}{n}}M_n^\f{k}{n},\ (0\leq k\leq n)$. - [售价 9 角] zhangzujin 2017-7-7 182 zhangzujin 2019-3-31 21:44
[积分] (170422) 已知函数 $f(x)=\ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$. - [售价 9 角] zhangzujin 2017-7-8 082 匿名 2019-3-11 08:58
[极限] (170513) 设数列 $\sed{x_n}$ 满足 $0<x_1<\pi$, $x_{n+1}=\sin x_n\ (n=1,2,\cdots)$. ... (4) 计算 $\dps{\vlm{n}\f{n}{\ln n} \sex{1-\f{nx_n^2}{3}}}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2017-7-8 1101 zhangzujin 2019-6-3 18:56
[微分] (170612) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(a)<f(b)$, 又设对一切 $x\in (a,b)$, $\dps{\vlmc{t}{0}\f{f(x+t)-f(x-t)}{t}}$ 存在, 用 $g(x)$ 表示这一极限值. 试证: 存在 $c\in (a,b)$, 使得 $g(c)\geq 0$. (南开... - [售价 9 角] zhangzujin 2017-7-8 0109 匿名 2019-3-11 08:58
[函数] (170614) [南京大学2013数分] 设 $f$ 是 $\bbR$ 上周期为 $1$ 的 $C^1$ 函数. 如果 $f$ 满足以下条件: $$\bex f(x)+f\sex{x+\f{1}{2}}=f(2x),\quad \forall\ x\in\bbR. \eex$$ 证明: $f$ 恒等于零. - [售价 9 角] zhangzujin 2017-7-8 0165 匿名 2019-3-11 08:58
[积分] (170615) 若函数 $p(t)$ 在 $[0,\infty)$ 连续, 且当 $t\to+\infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $\lm<0$, 证明: 当 $t\to\infty$ 时, $$\bex \int_t^\infty p(\tau)e^{\lm \tau}\rd \tau=o(t^{N+1})e^... - [售价 6 角] zhangzujin 2017-7-8 0126 匿名 2019-3-11 08:58
[微分] (170616) 设 $f\in C^{n+1}(\bbR)$, 试证: 对 $\forall\ a\in\bbR$, $$\bex \frac{\rd^n}{\rd x^n}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=\frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. \eex$$ - [售价 6 角] zhangzujin 2017-7-8 091 匿名 2019-3-11 08:58
[积分] (170623) 设立体 $\vSa$ 由 $x^2+y^2=2z$ 与 $z=4-\sqrt{x^2+y^2}$ 围成, 求 $\vSa$ 的体积与表面积. - [售价 3 角] zhangzujin 2017-7-8 0100 匿名 2019-3-11 08:58
[积分] (170707) [(170705) 的另外解法: 通过 Stokes 公式, 另外一张曲面] - [售价 7 角] zhangzujin 2017-9-27 0247 匿名 2019-3-11 08:58
[极限] (180812) [华南理工大学2017数分] 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导且满足 (1) $f'(x)>0$, $f''(x)>0$ 对 $\forall\ x\in [a,b]$; (2) $f(a)<0$, $f(b)>0$; 令 $\dps{ x_1=b-\f{f(b)}{f'(b)},\ x_{n+1}=x_n-\f{f(x_n)}{f'(x_n)}\ (n=1,2,\cdots). }$ 试证 ... - [售价 6 角] zhangzujin 2019-3-17 14 zhangzujin 2019-3-17 15:44
[级数] (180808) [华南理工大学2017数分] 求 $\dps{\vsm{n} n^2x^n}$ 的收敛域及和函数. - [售价 5 角] zhangzujin 2019-3-17 03 zhangzujin 2019-3-17 15:41
[积分] (180722) [南京航空航天大学2017数分] 设函数 $f(x,y)$ 在 $xoy$ 平面上二阶连续可微, $L_t$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(1,t)$ 的光滑曲线. (1) ...; (2). 若 $f(x,y)$ 满足 $\dps{\f{\p f(x,y)}{\p x}=(ax+1)\e^{ax-y}}$, 且 $f(0,y)=\e y$, 求 $I(t)$ 的最小值. - [售价 6 角] zhangzujin 2019-3-17 13 zhangzujin 2019-3-17 12:50
[级数] (180524) [北京大学2017数分] ... 证明: $S_n(x)$ 的最大值点是 $\dps{\f{\pi}{2n}}$ 且 $\dps{\vlm{n}S_n\sex{\f{\pi}{2n}}=\f{2}{\pi}\int_0^\pi\f{\sin t}{t}\rd t}$. - [售价 9 角] zhangzujin 2019-3-17 14 zhangzujin 2019-3-17 05:25
[连续] (180913) [南开大学2010数分] 证明并讨论如下问题: (1) ... (2) 是否存在 $\bbR$ 上的连续函数 $f(x)$ 使得 $f(x)$ 在有理点上取值为无理数, 在无理点上取值为有理数? 为什么? - [售价 6 角] zhangzujin 2019-3-20 13 zhangzujin 2019-3-20 18:53
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