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数学分析 今日: 0|主题: 284|排名: 1 

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全局置顶 隐藏置顶帖 论坛须知 zhangzujin 2017-7-4 0629 zhangzujin 2017-7-4 21:25
      
[函数] (160922) 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$\bex n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi} <x_n<n\pi+\frac{\pi}{2}. \eex$$ zhangzujin 2017-7-3 065 zhangzujin 2017-7-3 21:00
[级数] (161117) [武汉大学2015数分] 设 $0<\al<1$, 求积分 $\dps{\int_0^1 f(t^\al)\rd t}$ 的上确界, 其中连续函数 $f$ 满足 $$\bex \int_0^1 |f(t)|\rd t\leq 1. \eex$$ zhangzujin 2017-7-5 077 zhangzujin 2017-7-5 19:15
[连续] (161215) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上有定义, 且 $g(0)>0$, $g(1)<0$, $f(x)+g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增. 试证: 存在 $\xi\in (0,1)$ 使得 $g(\xi)=0$. zhangzujin 2017-7-6 080 zhangzujin 2017-7-6 09:17
[极限] (161218) (1) 证明方程 $\tan x=x$ 在 $\dps{\sex{n\pi,n\pi+\f{\pi}{2}}}$ 内存在实根 $\xi_n$, $n=1,2,\cdots$; (2) 求极限 $\dps{\vlm{n}(\xi_{n+1}-\xi_n)}$. zhangzujin 2017-7-6 070 zhangzujin 2017-7-6 13:45
[极限] (161225) 判断: 若对数列 $\{a_n\}$ 的任意两个子列 $\{a_{{n}_k}\}$ 与 $\{a_{{m}_k}\}$, 均有 $\dps{\vlm{k}(a_{{n}_k}-a_{{m}_k})=0}$, 则$\{a_n\}$ 收敛. zhangzujin 2017-7-6 070 zhangzujin 2017-7-6 13:56
[微分] (170311) 试证: $$\bex \arctan a-\arctan b>\f{a-b}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}},\quad \forall\ a>b>0. \eex$$ zhangzujin 2017-7-7 084 zhangzujin 2017-7-7 16:53
[积分] (170422) 已知函数 $f(x)=\ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$. zhangzujin 2017-7-8 077 zhangzujin 2017-7-8 08:49
[微分] (170612) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(a)<f(b)$, 又设对一切 $x\in (a,b)$, $\dps{\vlmc{t}{0}\f{f(x+t)-f(x-t)}{t}}$ 存在, 用 $g(x)$ 表示这一极限值. 试证: 存在 $c\in (a,b)$, 使得 $g(c)\geq 0$. (南开... zhangzujin 2017-7-8 098 zhangzujin 2017-7-8 09:46
[函数] (170614) [南京大学2013数分] 设 $f$ 是 $\bbR$ 上周期为 $1$ 的 $C^1$ 函数. 如果 $f$ 满足以下条件: $$\bex f(x)+f\sex{x+\f{1}{2}}=f(2x),\quad \forall\ x\in\bbR. \eex$$ 证明: $f$ 恒等于零. zhangzujin 2017-7-8 0153 zhangzujin 2017-7-8 09:49
[积分] (170615) 若函数 $p(t)$ 在 $[0,\infty)$ 连续, 且当 $t\to+\infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $\lm<0$, 证明: 当 $t\to\infty$ 时, $$\bex \int_t^\infty p(\tau)e^{\lm \tau}\rd \tau=o(t^{N+1})e^{\lm t}. \eex$$ (北京师范大学) zhangzujin 2017-7-8 0117 zhangzujin 2017-7-8 09:50
[微分] (170616) 设 $f\in C^{n+1}(\bbR)$, 试证: 对 $\forall\ a\in\bbR$, $$\bex \frac{\rd^n}{\rd x^n}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=\frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. \eex$$ zhangzujin 2017-7-8 088 zhangzujin 2017-7-8 09:51
[积分] (170623) 设立体 $\vSa$ 由 $x^2+y^2=2z$ 与 $z=4-\sqrt{x^2+y^2}$ 围成, 求 $\vSa$ 的体积与表面积. zhangzujin 2017-7-8 093 zhangzujin 2017-7-8 09:56
[积分] (170707) [(170705) 的另外解法: 通过 Stokes 公式, 另外一张曲面] zhangzujin 2017-9-27 0234 zhangzujin 2017-9-27 12:51
[积分] (160824) 计算曲线 $$\bex (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2),\quad x^2+y^2\geq a^2 \eex$$ 所围成的面积. zhangzujin 2017-6-30 058 zhangzujin 2017-6-30 16:21
[微分] (160823) 证明恒等式 $$\bex \sez{x^{n-1}f\sex{\frac{1}{x}}}^{(n)} =\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}f^{(n)}\sex{\frac{1}{x}}. \eex$$ 新人帖 zhangzujin 2017-6-26 0119 zhangzujin 2017-6-26 06:16
[实数理论] (160825) 试证: 对任意无理数 $\al$ 和任意正整数 $n$, 都存在正整数 $q_n$ 和整数 $p_n$ 使得 $$\bex \sev{\al-\frac{p_n}{q_n}}<\frac{1}{nq_n},\quad \sev{\al-\frac{p_n}{q_n}}<\frac{1}{q_n^2}. \eex$$ zhangzujin 2017-6-30 072 zhangzujin 2017-6-30 16:39
[实数理论] (160826) 设 $\al$ 是无理数, 试证: $$\bex A=\sed{m+n\al;m,n\in\bbZ} \eex$$ 在 $\bbR$ 中稠密, 也即: 任何一个开区间至少含有 $A$ 中一元. zhangzujin 2017-6-30 082 zhangzujin 2017-6-30 18:36
[实数理论] (160827) 试证: $\sed{\cos n;n\in\bbN}$ 在 $[-1,1]$ 上稠密. zhangzujin 2017-6-30 055 zhangzujin 2017-6-30 18:52
[极限] (160828) 设 $\al\in (0,1)$, 试求 $$\bex \vlm{n}[(n+1)^\al-n^\al]. \eex$$ zhangzujin 2017-7-2 057 zhangzujin 2017-7-2 18:03
[极限] (160829) 设 $$\bex \vlm{n}\frac{n^{2016}}{n^x-(n-1)^x}=\frac{1}{2017}, \eex$$ 试求 $x$. zhangzujin 2017-7-2 056 zhangzujin 2017-7-2 18:06
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